数值计算解线性方程组迭代法.doc

葿芅袅羂膀莂芅第4章 解线性方程组的迭代法袅莇芈莄薀蒅蒂用迭代法求解线性方程组与第4章非线性方程求根的方法相似,对方程组进行等价变换,构造同解方程组(对可构造各种等价方程组,如分解,可逆,则由得到),以此构造迭代关系式蚆膄芆蒂聿肄羀                ()莆芅莁薁蒈蒅袈任取初始向量,代入迭代式中,经计算得到迭代序列。膆芇蒃羃袈薂羇若迭代序列收敛,设的极限为,对迭代式两边取极限袇肄膀肂薁薅芁蚇膅袄蒄羁芄肀即是方程组的解,此时称迭代法收敛,否则称迭代法发散。我们将看到,不同于非线性方程的迭代方法,解线性方程组的迭代收敛与否完全决定于迭代矩阵的性质,与迭代初始值的选取无关。迭代法的优点是占有存储空间少,程序实现简单,尤其适用于大型稀疏矩阵;不尽人意之处是要面对判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。莈羃衿薂蒀罿艿可以证明迭代矩阵的与谱半径是迭代收敛的充分必要条件,其中是矩阵的特征根。事实上,若为方程组的解,则有膈羄芅蚁衿蚂莄袈肆羂肃艿聿莄再由迭代式可得到蕿袃蚆膁螈莃肀荿袄蚁薄莂聿莅由线性代数定理,的充分必要条件。袅羆肆蚂袁袁膆因此对迭代法()的收敛性有以下两个定理成立。。,称谱半径小于1的矩阵为收敛矩阵。计算矩阵的谱半径,需要求解矩阵的特征值才能得到,通常这是较为繁重的工作。但是可以通过计算矩阵的范数等方法简化判断收敛的工作。前面已经提到过,若||A||p矩阵的范数,则总有。因此,若,则必为收敛矩阵。计算矩阵的1范数和范数的方法比较简单,其中螇蚃蚀蚄薈肇薄薇螅莇螂节蒅袁芈螆肁袀蚁衿芀于是,只要迭代矩阵满足或,就可以判断迭代序列是收敛的。肈薃肆芃肀薅膇要注意的是,当或时,可以有,因此不能判断迭代序列发散。螈蚅蒂莁薀芇芆在计算中当相邻两次的向量误差的某种范数小于给定精度时,则停止迭代计算,视为方程组的近似解(。) 雅可比(Jacobi)迭代法艿蒃蕿袂荿罿莀