数值计算解线性方程组迭代法.doc

袅莂芅第4章 解线性方程组的迭代法芈蒅蒂用迭代法求解线性方程组与第4章非线性方程求根的方法相似,对方程组进行等价变换,构造同解方程组(对可构造各种等价方程组,如分解,可逆,则由得到),以此构造迭代关系式芆肄羀                ()莁蒅袈任取初始向量,代入迭代式中,经计算得到迭代序列。蒃薂羇若迭代序列收敛,设的极限为,对迭代式两边取极限膀薅芁袄芄肀即是方程组的解,此时称迭代法收敛,否则称迭代法发散。我们将看到,不同于非线性方程的迭代方法,解线性方程组的迭代收敛与否完全决定于迭代矩阵的性质,与迭代初始值的选取无关。迭代法的优点是占有存储空间少,程序实现简单,尤其适用于大型稀疏矩阵;不尽人意之处是要面对判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。衿罿艿可以证明迭代矩阵的与谱半径是迭代收敛的充分必要条件,其中是矩阵的特征根。事实上,若为方程组的解,则有芅蚂莄羂聿莄再由迭代式可得到蚆莃肀蚁聿莅由线性代数定理,的充分必要条件。肆袁膆因此对迭代法()的收敛性有以下两个定理成立。。,称谱半径小于1的矩阵为收敛矩阵。计算矩阵的谱半径,需要求解矩阵的特征值才能得到,通常这是较为繁重的工作。但是可以通过计算矩阵的范数等方法简化判断收敛的工作。前面已经提到过,若||A||p矩阵的范数,则总有。因此,若,则必为收敛矩阵。计算矩阵的1范数和范数的方法比较简单,其中蚀肇薄莇蒅袁肁衿芀于是,只要迭代矩阵满足或,就可以判断迭代序列是收敛的。肆薅膇要注意的是,当或时,可以有,因此不能判断迭代序列发散。蒂芇芆在计算中当相邻两次的向量误差的某种范数小于给定精度时,则停止迭代计算,视为方程组的近似解(。) 雅可比(Jacobi)迭代法蕿罿莀                  ()莁腿葿写成矩阵形式为。若将式()中每个方程的留在方程左边,其余各项移到方程右边;方程两边除以则得到下列同解方程组:蒆袄聿螂薇蒆记,构造迭代形式膅羄蒂膃莈蕿或芈肄膆      ()荿肀羄迭代计算式()称为简单迭代或雅可比迭代。任取初始向量,由式()可得到迭代向量序列羆肄膁雅可比迭代矩阵螀蒈虿设螅膄薇膁芀蚆由,得到等价方程:薄芄芄薂蚈虿记薇莃羈不难看出,正是迭代式()的迭代矩阵,是常数项向量。于是式()可写成矩阵形式:虿莀肃                 ()莆蒃羃其中:肀袈蝿膅薃荿雅可比迭代算法