数值计算解线性方程组迭代法.doc

莈第4章 解线性方程组的迭代法袅用迭代法求解线性方程组与第4章非线性方程求根的方法相似,对方程组进行等价变换,构造同解方程组(对可构造各种等价方程组,如分解,可逆,则由得到),以此构造迭代关系式节                ()肁任取初始向量,代入迭代式中,经计算得到迭代序列。蒇若迭代序列收敛,设的极限为,对迭代式两边取极限芄羂即是方程组的解,此时称迭代法收敛,否则称迭代法发散。我们将看到,不同于非线性方程的迭代方法,解线性方程组的迭代收敛与否完全决定于迭代矩阵的性质,与迭代初始值的选取无关。迭代法的优点是占有存储空间少,程序实现简单,尤其适用于大型稀疏矩阵;不尽人意之处是要面对判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。膃可以证明迭代矩阵的与谱半径是迭代收敛的充分必要条件,其中是矩阵的特征根。事实上,若为方程组的解,则有衿羈再由迭代式可得到螃袀由线性代数定理,的充分必要条件。羈因此对迭代法()的收敛性有以下两个定理成立。。,称谱半径小于1的矩阵为收敛矩阵。计算矩阵的谱半径,需要求解矩阵的特征值才能得到,通常这是较为繁重的工作。但是可以通过计算矩阵的范数等方法简化判断收敛的工作。前面已经提到过,若||A||p矩阵的范数,则总有。因此,若,则必为收敛矩阵。计算矩阵的1范数和范数的方法比较简单,其中芀袇膄于是,只要迭代矩阵满足或,就可以判断迭代序列是收敛的。肃要注意的是,当或时,可以有,因此不能判断迭代序列发散。蒈在计算中当相邻两次的向量误差的某种范数小于给定精度时,则停止迭代计算,视为方程组的近似解(。) 雅可比(Jacobi)迭代法羄                  ()蚄写成矩阵形式为。若将式()中每个方程的留在方程左边,其余各项移到方程右边;方程两边除以则得到下列同解方程组:袂衿记,构造迭代形式膅蒅或羃      ()肇迭代计算式()称为简单迭代或雅可比迭代。任取初始向量,由式()可得到迭代向量序列袈雅可比迭代矩阵膅设螀莀由,得到等价方程:芈羆记螂不难看出,正是迭代式()的迭代矩阵,是常数项向量。于是式()可写成矩阵形式:蒈                 ()蚇其中:莂袃雅可比迭代算法袁下面描述解线性方程组的雅可比迭代算法,为了简单起见,在算法中假定矩阵满足雅可比迭代要求,即,并设由系数矩阵构造迭代矩阵是收敛的。肆 。膂 :=1,2,…,n蚀{   //假定,形成常数项向量罿           FORj:=1,2,…,n薆              袃        蚂}             //形成迭代矩阵元素肇                  //赋初始值,x1和x2分别表示和蚃    螃    x1:=x2蒀    x2:=B*x1+g   // FOR u:=1,2,…,n莄                  //    s:=g[u];莃                  //  FORv:=1,2,…,n  s:=s+b[u][v]*x1[v];薁                  //    x2[u]:=s;薈 ENDWHILE肈 :蚂羀解:方程的迭代格式:蒇 袄或葿 聿雅可比迭代收敛。羇取初始值,。 1肅 1荿 1蚈 膅1袆- - - - - - -