高等数学 第十二章 无穷级数.doc

第十二章无穷级数【教学重点】1、级数的基本性质及收敛的必要条件。2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别;3、交错级数的莱布尼茨判别法;4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域;5、,和的麦克劳林展开式;6、傅里叶级数。【教学难点】比较判别法的极限形式;莱布尼茨判别法;任意项级数的绝对收敛与条件收敛;函数项级数的收敛域及和函数;泰勒级数;傅里叶级数的狄利克雷定理。第一节常数项级数的概念与性质 一、常数项级数的概念常数项级数:给定一个数列u1,u2,u3,×××,un,×××,则由这数列构成的表达式u1+u2+u3+×××+un+×××叫做常数项)无穷级数,简称常数项)级数,记为,即,::如果级数的部分和数列有极限s,即,则称无穷级数收敛,这时极限s叫做这级数的和,并写成;如果没有极限,:当级数收敛时,其部分和sn是级数的和s的近似值,它们之间的差值rn=s-sn=un+1+un+2+×××(几何级数)的敛散性,其中a¹0,¹1,|q|<1时,因为,所以此时级数收敛,|q|>1时,因为,|q|=1,则当q=1时,sn=na®¥,因此级数发散;当q=-1时,级数成为a-a+a-a+×××,当|q|=1时,因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零,所以sn的极限不存在,,级数例2证明级数1+2+3+×××+n+×××,,:.二、收敛级数的基本性质性质1如果级数收敛于和s,则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛,,则级数也收敛,,、分别收敛于和s、s,则级数也收敛,且其和为s±、,、加上或改变有限项,,级数是收敛的,级数也是收敛的,,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,:如果加括号后所成的级数收敛,,级数(1-1)+(1-1)+×××收敛于零,但级数1-1+1-1+×××:如果加括号后所成的级数发散,:性质8如果收敛,则它的一般项un趋于零,::假若级数收敛且其和为s,,,故,;;第二节常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数:{sn}(比较审敛法)设和都是正项级数,且un£vn(k>0,"n³N).若收敛,则收敛;若发散,,则级数的部分和sn=u1+u2+×××+un£v1+v2+×××+vn£s(n=1,2,×××),即部分和数列{sn}有界,,设级数发散,,由上已证明的结论,将有级数也收敛,,如果级数收敛,且存在自然数N,使当n³N时有un£kvn(k>0)成立,则级数收敛;如果级数发散,且当n³N时有un³kvn(k>0)成立,-级数的收敛性,其中常数p>:,-级数的收敛性:p-级数当p>1时收敛,当p£,而级数是发散的,(比较审敛法的极限形式)设和都是正项级数,(1)如果(0£l<+¥),且级数收敛,则级数收敛;(2)如果,且级数发散,,对,存在自然数N,当n>N时,有不等式,即,再根据比较审敛法的推论1,,而级数发散,根据比较审敛法的极限形式,,而级数收敛,根据比较审敛法的极限形式,(比值审敛法,达朗贝尔判别法)若正项级数的后项与前项之比值的极限等于r:,则当r<1时级数收敛;当r>1(或)时级数发散;当r=:,