利用微积分证明不等式.doc

衿膈利用微积分证明不等式螅肂余建生指导教师:吴晓羁莆摘要对于不等式证明的方法有很多,利用微积分的知识来证明不失为一个简单易膄掌握的方法,本文应用微积分的有关概念、定理、典型实例,对不等式证明的微积袂分方法进行了探究与归纳。羂关键词不等式;导数;,数形结合的思想,转化的思想,类比的思想,分类讨论思想,,,求导证明,,是教学的一个重点,也是学习的一个难点,本文应用微积分的有关概念,定理,结合典型实例,(拉格朗日中值定理)证明不等式螇定理1若函数f满足如下条件:芇(ⅰ)在闭区间上连续,莃(ⅱ)在开区间内可导,袁则在内至少存在一点,使得腿蚆这里没有给出的确切位置,而对于不等式而言,,,,在上满足拉格朗日中值定理,膅所以,袃而,,>0,试证:.螁证设,蝿因在上满足拉格朗日中值定理,,,要抓住定理的核心,在满足定理的两个条件下,主要是利用“存在一点”,即来确定不等式关系,,,如果对任意的,恒有(或)则f(x)在内单调增加(或单调减少).,(i)>0时,.(ii)螃当,,.:..(无法判断的符号),袄,蒂,蚃,,首先要根据不等式构造函数,,只须证明或,而要证明或,首先求,(或麦克劳林公式).蒈定理3(泰勒定理)若函数f满足如下条件:羇(i)在开区间上函数f存在直到n阶导数,羃(ii)在闭区间上存在f的n+1阶导数,蒁则对任何,至少存在一点,,则对任意几个点,,,,蒄(1)莀对(1)式中分别取,得到=1,2,…,>-1,证明(i)在,;蚅(ii)在a<0或a>1时,.羅证设,.腿,.(2)芀(i)时,(2)(ii)在a<0或a>1时,(2),:在某区间上凹(或下凹),也即膇羂(或),腿由此可证明一些不等式,,:.蚂证令,,.,肆,:蒅证设,膃聿,,如果在区间上满足,,,蚄根据性质1,.,要将不等式两端的式子表示成同一区间上两个函数的定积分,这时,只须比较这两个函数在区间上的大小,,,,设在区间内的最大值和最小值分别为,.试证:.蕿证当时,:肀高等数学中证明不等式的方法很多,,进行了初步的思考与探究,,对于一个不等式来说,可以用多种方法予以证明,对于一个学习数学的人来说,能够找到解决问题的最简单的方法就是好方法,[1][M].北京:高等教育出版社,[2][J].,:8-[3][J].(3期):44-[4]刘玉琏,[M].北京:高等教育出版社,1992,