线性代数五相似矩阵.doc

薃第五章相似矩阵蒁§1特征值与特征向量聿羅特征值是方阵的一个重要特征量,矩阵理论的很多结果都与特征值有关,在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。羅定义1:设为阶方阵,如果存在数和维非0列向量,满足:袀。衿则称是方阵的特征值(也称为特征根),是方阵的属于特征值的特征向量。肆例如矩阵,取,,则有,,所以1,0是的特征值,是分别属于特征值1和0的特征向量。肄(1)式又可以写成。薄即特征向量是齐次线性方程组(2)的非零解,从而有薀。肈(3)称为方阵的特征方程,求解方程(3)即得矩阵的特征值。称为方阵的特征多项式。膂对求出的特征值,代入方程组(2)求解即得属于的特征向量。羃例1:已知方阵满足,证明:的特征值只能为1或。莀证明:设是的任一特征值,则有非零向量,使得。袅两边左乘以,有。又,所以。由于,从而,即。薅例2:求矩阵的特征值与特征向量。莂解:因。肀所以矩阵的特征值或。羆当时,蚃,。袂故属于的特征向量为。袁当时,肈,。肅故属于的特征向量为。芁§2相似矩阵薁定义2:若阶方阵和,存在一个可逆矩阵,使得。则称矩阵与相似,记为。螅对于相似矩阵,有下列性质:膄任一方阵,它与自身相似;蚀若与相似,则与相似;肇若与相似,与相似,则与相似;袇与相似,则。节证明:只证4),因与相似,存在可逆矩阵,使得。从而肀。螈如果方阵相似与对角形矩阵,则称可以对角化。并非每个方阵均可以对角化,例如矩阵,对任何2阶可逆矩阵,均不能为对角形矩阵。羈下面给出一般方阵相似对角形的条件。蚄若相似对角形,则有螃记,由(4)式可得薈螅即螃。芃从而。艿由定义知为的特征值,由可逆知为非零向量,且线性无关。所以它是属于的特征向量。以上过程可逆,故存在下面定理。螇定理1:阶方阵可以对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。膅该定理给出了矩阵相似对角形的充分必要条件,但如何找出个线性无关的特征向量,则需要下列一些结果。蚂定理2:方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。聿证明:设是分别属于不同特征值的特征向量,当时,命题成立。袈设当时命题成立,芄则当时,设有肁(5)式乘以,有蝿蚅再对(5)式两边左乘以,有薆薁(6)(7)得蒀。蚇由归纳假设,线性无关。从而。螄由于,所以,代入(5)式,得。羀即线性无关,故命题成立。从而定理得证。芀推论1:阶方阵有个不同的特征值,则一定可以对角化。螈实际计算中,先求出阶方阵的全部特征值,再找出属于每个特征值的特征向量的极大线性无关组。可以证明所有这些线性无关向量组所构成的“大”向量组仍然线性无关。若这个“大”向量组中向量个数等于,则可以对角化,若向量个数小于,则不能对角化。袃例3:判别下列矩阵是否可以对角化蚃1);2)。羀解:1)。薆特征值为,(二重根)。膅当时,肃,。螁当时,蚇,,莃所以相似于对角形。取,则有。蒂(2),芇特征值为(三重根)。蚈当时,蚆,,。羂故不能对角化。羈例4:已知是矩阵的一个特征向量。蒆求和对应的特征值。螄问能否相似对角形莁解:1)因是的属于特征值的特征向量,则有蚈。薇从而解得。羃2)因,,螀所以特征值(三重根)。又蒈蕿基础解系中仅含一个线性无关的向量,故不能对角化。芅膀§3实对称矩阵的对角化腿莆上一节提到,并非每个方阵均可以对角化,这一节介绍一类能对角化的矩阵——实对称矩阵。莃记表示向量中每个分量取其共轭复数所构成的向量,为矩阵中每个元素取其共轭复数所构成的矩阵,则。袃性质1:实对称矩阵的特征值为实数。罿证明:因是实对称矩阵,所以。蒇设是的特征值,则有向量,使得,且有。螆考虑,莂另一方面,。虿。芅,,。即为实数。袄性质2:设,是实对称矩阵的两个不同特征值,是分别属于,的特征向量,则与正交。螂证明:,(),蒀考虑。芆又。膁从而。即与正交。莀定理3:任一阶实对称矩阵一定存在正交矩阵,使得荿。薆这里是的特征值。薄证明:时,命题成立。蝿设时命题成立。即对阶实对称矩阵有正交矩阵,使得聿。莃下面证明在时命题也成立。蚂由性质1,实对称矩阵一定存在实的特征值,取是属于的单位特征向量,将扩充成的标准正交基,记,则艿。袀由对称,可得对称。从而,仍为阶对称矩阵。由归纳假设存在正交矩阵,使得。令,则正交,且。莅实际计算中,对每个不同的特征值,求出它们线性无关的特征向量,再进行施密特正交化得到正交向量组。合并这些单位化了的正交向量组可构成的标准正交基,把标准正交基按列的形式构成的正交矩阵记为,则有肄。袂例5:设,求正交矩阵,使得为对角形。莆解:,蒆特征值为,(二重根)膃当时,莁,。单位化得;肆当时,芄,,。它为正交向量组,芁单位化得,。螁取,则正交,且有螇。莅例6:已知三阶实对称矩阵有两特征值,(二重根),属于