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专题、排列组合
1 知识填空
乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有种不同的方法,做第二步有不同的方法,……,.
排列和排列数:
公式P是指排列,从n个元素取m个进行排列(即排序)。
组合和组合数:,
公式C是指组合,从n个元素取m个,不进行排列(即不排序)。
加法原理:做一件事情,完成它有n类办法,在第一类办法中有种不同的方法,在第二类办法中有种不同的方法,……,在第种类办法中有种不同的方法,那么完成这件事情共有种不同的方法。
【排列数和组合数公式】
排列数公式:(,且).注:规定
排列恒等式(1);(2);(3); (4);(5).(6).
组合数公式(且)
组合数的两个性质
(1)(2)(3)注:规定.

组合恒等式(1);(2);(3);
以下公式都和二项式定理相关:(4)(5).
(6). (7).
(8). (9).
排列数与组合数的关系:
2 重点点拨
【排列组合问题解题技巧归纳汇总】
1)特殊元素和特殊位置优先策略
,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得
例2. 用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )

解:首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在末位时,有(个),
当0不排在末位时,有(个),
于是由分类计数原理,得符合题意的偶数共有(个).故选B.
2)相邻元素捆绑策略
例3. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法
例4. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( )

解:首先两位老人不站在两端,那么在5名志愿者中挑2位站两端,有种;两位老人要相邻,用捆绑法把他们看成一位,和剩下的3名志愿者一起排,有种;两位老人内部排列,有种,则总共有种。故选B。
3)不相邻问题插空策略
,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,节目的不同顺序共有种
提示:不相邻问题通常用插空法:把要求不相邻的元素放在一边,先排其他元素,再将不相邻的元素插在已经排好的元素之间的空位上。
4)定序问题倍缩空位插入策略
,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就