罗尔定理论文.doc

摘要:,对其进行了推广,使其定理的适用范围更加广泛;同时,对罗尔定理在讨论方程根的存在性问题中的应用及拉格朗日定理在证明不等式和求极限问题中的应用进行了讨论,:罗尔定理;拉格朗日中值定理;极限;导数一、罗尔定理推广及应用(一):在闭区间连续;在开区间可导;;则在内至少存在一点,,在内可微,且(A可为有限也可为),则至少存在一点,:(1),令容易验证在上满足罗尔定理的条件,故,使.(2)若A为,为有限区间或无限区间,由在内的连续性知,当充分大时,直线与曲线至少有两个焦点与,,对在上应用罗尔定理,使得;(3)若A为有限值,,即选择函数,满足如下要求:,(这里是有限区间),,(1))当,,令,则在上满足(1),使,而,,于是取,就是;2)若当有限,,即,作变换,,(其中为正数)令,则在上满足(1),使,而,于是取,)当,为有限,即,做变换,其中为负数,同理可得,取,;在开区间可微;,,则,使得(1)证明:根据题设,函数,在闭区间连续;在开区间可微;,即,所以由罗尔定理知道,,,在上连续,在内可导,则,:,则由于满足罗尔定理,则,使得,则问题得证.(二),,给一个定义在闭区间上的函数,只需函数在这个区间连续,可导(并不要求区间端点可导),,::若在上连续,在内可导,证明:在内,:令,显然,在上连续,在内可导,而且,根据罗尔定理,至少存在一个,使得,则有,故在内,,首先我们可以根据不等式俩边的代数式选取不同的;其次,验证是否满足罗尔定理推广中的某种形式的条件;最后,应用定理进行解题,:设在内可微,且满足不等式,,证明存在一点,使得,证明:由已知不等式知,.令,则,,则由推广的罗尔定理,,使得,、拉格朗日中值定理推广及应用(一):在闭区间连续;,,:设在上连续,在内可导,则至少,使,,在开区间内可导,则对于任意给定的一组实数,且,必存在,使得,其中,,特别地,当,:,,若把条件减弱的话,,在开区间内除了有限个点外可微,:不妨设在仅在不可微,分别在应用拉格朗日定理中值定理,则得到,,,.令,,若在内除了n个点处可微,则存在个点,:不妨设在仅在不可微,则由上述推广3得,,,,,,在开区间内存在左,右导数,则存在及,:(1)先证明若在闭区间连续,在开区间内存在左,右导数,且,则存在,,由在连续,得使得又,故必在区间内取得至少一个最值,不防设最值点为,,或,.(2)作辅助函数,则由在闭区间连续,在开区间内存在左,右导数知在闭区间连续,在开区间内存在左,右导数,,且有因为,,,即,,,有介值定理,使得,即,又,则.(二),使得等式成立,但对的确切位置未作任何断定,,关键是选择适当的函数和对应的区间,使它满足拉格朗日中值定理,使得,