罗尔定理_图文.doc

1 由罗尔定理知: ( 1 )可导函数在取得极值点处导数等于零; ( 2 )方程: ( ) 0 f x ?的两根之间至少有方程: ( ) 0 f x ??的一个根; ( 3 )唯一性证明。反证法:假设谬论,运用罗尔定理推出矛盾; ( 4 )结论可能需多次运用罗尔定理。①2 ②③3 ④⑤4 ⑥⑦5 ⑧⑨6 ⑩⑾7 ⑿⒀8 ⒁⒂证明:(1 )方程 33 x x C ? ?(这里 C 为常数)在区间[0, 1] 内不可能有两个不同的实根;(2 )方程 n x px q ? ?(其中 n 为正整数, , p q 为实数)当 n 为偶数时至多有两个实根,当 n 为奇数时至多有三个实根. 证明:(1 )反证法。设( ) f x 有两个不同的实根 1 2 1 2 , [0, 1], x x x x ? ?,而( ) f x 在 1 2 [ , ] x x 上连续,在 1 2 ( , ) x x 内可导, 1 2 ( ) ( ) f x f x ?,则存在 1 2 ( , ) [0, 1] x x ?? ?,使: '( ) 0 f??。由于 2 '( ) 3 3 '( ) 0 1 f x x f x x ? ??????, 而1x ??都不在(0, 1) 内,即不可能存在 1 2 ( , ) [0, 1] x x ?? ?,使'( ) 0 f??,矛盾。(2)3n?结论成立,用反证法证明 4n?情形。 2 n k ?: 设方程有三个实根 1 2 3 1 2 3 , , , ( ) x x x x x x ? ?,函数( ) f x 在 1 2 [ , ] x x 与 2 3 [ , ] x x 上分别满足罗尔定理。故存在 1 1 2 2 2 3 ( , ), ( , ) x x x x ? ?? ?使 1 2 '( ) '( ) 0 f f ? ?? ? 2 1 2 1 '( ) 2 , '( ) 0 2 kkp f x kx p f x x k ??? ?????,与 1 2 '( ) '( ) 0 f f ? ?? ?矛盾。 2 1 n k ? ?:设方程有四个实根 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , , ( ) x x x x x x x x ? ??,函数( ) f x 在 1 2 [ , ] x x , 2 3 [ , ] x x , 3 4 [ , ] x x 上分别满足罗尔定理。故存在 1 ( , ) k k k x x ???使: '( ) 0, ( 1, 2, 3) k f k ?? ?而2 '( ) (2 1) 0 k f x k x p ? ???, 由于 0, 0, 0 p p p ? ??分别有两个, 一个, 没有不同实数,矛盾, 即n 为奇数时至多有三个实根。 9 16. 设( ) f x 在[0,1] 上连续,在(0,1) 内可导,且 1 (0) (1) 0, ( ) 1 2 f f f ? ? ?,证明:必存在一点(0,1) ??,使( ) 1 f???。证明:令: ( ) ( ) F x f x x ? ?, 由: (1) 1 0 F ???, 1 1 ( ) 0 2 2 F ? ?,且: ( ) F x 在[0,1] 连续知必存在一点 1 ( ,1) 2 c?,使得: ( ) 0 F c ?,于是, ( ) F x 在[0, ] c 上连续,在(0, ) c 可导, 且: (0) ( ) 0 F F c ? ?, 满足罗尔定理的条件,故必存在一点(0, ) (0,1) c?? ?,使( ) 0 F???, 即: ( ) 1 f???。 17. 设, , a b c 为实数,证明方程: 2x e ax bx c ? ??至多有三个实根。证明:用反证法,连续运用罗尔定理可证结论。 18. 设( ), ( ) f