最短路线和最速降线.doc

螁Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse袇螆薂虿最短路线和最速降线袈蕿袅一、,此汽车可转弯的最小圆半径为,求不倒车时由移到的最短路线。艿肇薁(1)讨论的情形。芄螂肀(2)简单讨论的情形。,汽车行走的路线视为一条曲线。(1)讨论的情形。以为轴正向,作一半径为的圆与轴切于点,问题就是要找一条最短曲线连结,在点切于轴正向,且任一点的曲率半径不小于。肀膆薁直观上不难猜测出最短路径。从点向圆做切线,那么由点沿圆弧移到点,再沿直线移到点,这就是最短路径(如图1所示)。肅袂蒁为了证明这一事实,作一条直线通过圆的中心和点。膇袈羅假设汽车沿某一条曲线由点移到点,因、分别在直线两侧,与必有一交点被分成弧和弧两段。因与垂直,弧的长度必不小于线段的长度(当且仅当弧与线段重合时才可能相等)。设弧的参数方程为图1袄羂薆其中为弧长。在点处,曲线的切线与轴的夹角记为,依条件有薈莆蚀当时,故蚃肁蚈从而罿肈蚇。蚆膁芅研究曲线上的点与直线的距离(在的右边为正)莀薆螀因为蒅芁聿故螁芈葿因此膄莁肄当时,有当时,。羈蚅袀故羃莁蒀故当时,荿蒇袇这就是说,当汽车移动距离不超过(就是弧的长度)时,它不可能越过直线。因此弧的长度至少为,并且只有当弧与完全重合时,它的长度才能等于。羅蒁袃总结上述讨论,知曲线的长度必不小于并且只有当与重合时才可能相等。因此是唯一的最短路径。蝿袅羀(2)若点在圆内,即则应过点作一半径的圆,其圆心在延长线上,再过点作一圆,半径为,且与前圆切于点,则最短路径是弧和弧所螄薁袁组成的曲线(如图2所示)。膀薇蕿图2薃蚁袆二、──“铅直平面内给定不在一条垂直线上的两个点A,B,如图3,求连接它们的光滑曲线,使质点在重力作用下沿该曲线以最短时间从A点滑到B点(摩擦力不计)”。他说这曲线是圆,可是这是一个错误的答案。薆螀羈瑞士数学家约翰·伯努利在1696年再提出这个最速降线的蚈螇肆图3莅袀蚅问题(problemofbrachistochrone),征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案,其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利兄弟。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程,约翰·伯努利用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程,雅各布·伯努利用比较麻烦的办法解决了这个问题。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线或圆滚线。旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等,所以摆线(旋轮线)又称等时曲线。聿葿膀数学家十分关注最速降线问题,大数学家欧拉也在1726年开始发表有关的论著,在雅各布·伯努利方法的基础上,1744年最先给了这类问题的普遍解法,并产生了变分法这一新数学分支。现在来看,雅各布的方法是最有意义和价值的。。,B两点间的最短距离是连接它们的直线,但是沿直线运动时速度增长较慢,如果沿一条陡峭的曲线下滑,虽然路径加长,但运动速度增长很快。袃羀莃为了求这条运动时间最短的曲线,在图3中将A点取为坐标原点(0,0),B点坐标为(x1,y1),连接A,B的曲线