01--高级宏观：拉姆齐模型.pdf

复旦大学博士生宏观经济学讲义第一章拉姆齐模型这里所有的材料都不归属于我,除了键盘敲击所花的功夫。你可以为了学习目的对下面的资料做任何的修改和编辑,只要你正确标出她的来源。————无名氏第一章拉姆齐模型1FrankPlumptonRamseyFrankPlumptonRamsey(1903-1930),Britishmathematicianandphilosopher,,semantics,logic,philosophyofscience,mathematics,statistics,probabilityanddecisiontheory,,人口出生率为n>0。假定在时间t=0,人口被标准化为1,那么t期人口Lt()=ent。生产假定存在不变规模收益生产函数:Yt()=F(K(t),A()tL()t)()技术进步由At()=egt给定总资本积累方程如下:.Kt()=F(K(t),A()tL()t)−δK(t)−C(t)()Ct()Kt()Ct()定义ct()=,kt()=为人均消费和人均资本,ct()=为每有Lt()Lt()eAt()L()t该讲义参考了Blanchard和Fischer(1989),Barro和Sala-I-Martin(1995),Zilibotti和Dirk,。在这一部分我们考虑消费和储蓄是由家庭最优化行为决定的。我们考虑一个无限期的家庭,在跨期预算约束下,选择消费和储蓄以最大化他以及后代的效用函数。这归功于Ramsey(1928),Cass(1965)和Koopmas(1965)。拉姆齐模型的最优条件消除了索罗-斯旺模型中的无效的过度储蓄问题。1复旦大学博士生宏观经济学讲义第一章拉姆齐模型kt()效劳动单位人均消费,kt()=为每有效劳动单位人均资本。资本积累的方程eAt()可变为:.kte()=−f(kee(t))c()t−(n+δ+g)ke(t)()代表性行为人的最大化问题∞maxeU−ρt(c(t))dtct(),k(t)∫..ke()t=−f(kee(t))c()t−(n+δ+g)ke()t给定kkee(0)=0转化:假定效用函数为CRRA,例如c1−θ,1θ≠Uc()=1−θln(c),θ=1其中θ是相对风险系数,即边际效用弹性的负数。ct()1−θ((ct)egt)1−θ那么eU−−ρρtt((ct))==ee−ρte=e−((ρ−1−θ)g)tU(c(t))()11−−θθe定义γ=−((ρ1−θ)g)为有效贴现率,因此上述最大化问题可以重新表述为:∞maxeU−γt(c(t))dt∫0ectee(),k(t).st..ke()t=−f(kee(t))c()t−(n+δ+g)ke()t给定kkee(0)=0显然为了使目标函数存在最大值,必须有γ>0社会计划者解第一步:构造现值汉密尔顿函数2−γtH(cee,k,λλ;t)=+eU(ctee())(t)[f(k(t))−cte()−(n+δ+g)ke(t)]()第二步:最大值的三个必要条件:(t)2汉密尔顿函数的推导和庞特里亚金最大值原理的三个必要条件的推导,见附录。2复旦大学博士生宏观经济学讲义第一章拉姆齐模型∂Hc(,eek,λ;t)=0()∂.∂Hc(,eek,λ;t)λ()t=−()∂(也是资本的现值影子价格),横截性条件(TVC)。limλ(tk)e(t)=0()t→∞将上述一阶条件展开,可得:−γteU'(ce(t))=λ(t)().λλ()tt/()=f'(ke(t))−+(nδ+g)()limλ(tk)e(t)=0()t→∞第三步:()和()消除λ(t)首先在()两边对t求导:..−γt−γtλ()te=U''(ce(t))ce()t−γeU'(ce()t)()再次利用(),可得..λ()tUc''((t))ce(t)=e−γ()λ()tU'(ce()t)最后,利用()消除λ(t).Uc''(e(t))ce(t)−=γ−[(fkte())−(n++δg)]()Uc'(e(t))我们将()变换,表示为跨其替代弹性和真实利率的