求解积分因子的方法整理.doc

求解积分因子的方法整理一、恰当微分方程与积分因子1、对于一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1)其左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分,即P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y)则称方程(1)为恰当微分方程。容易得到方程(1)的通解为u(x,y)=c(这里的c为任意常数)。可是若(1)不是恰当微分方程,如果存在连续可微的函数u=u(x,y)≠0,使得u(x,y)M(x,y)dx+u(x,y)N(x,y)dy=0为恰当微分方程,则称u(x,y)为方程(1)的积分因子。2、恰当微分方程的判定对于一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0它为恰当微分方程的必要条件为:二、几种常见的积分因子的类型及求法1、存在只与x有关的积分因子(1)充要条件:(2)形式:u=2、存在只与y有关的积分因子(1)充要条件:(2)形式:这里的分别是只关于x、y的函数。3、方程(1)有形如u(x,y)=F(x,y)的积分因子,充要条件:4、方程(1)有形如u[p(x)+f(x)g(y)+q(y)]的积分因子,充要条件:它的积分因子为:5、方程(1)有形如u[f(x)g(y)+q(y)]的积分因子,充要条件:它的积分因子为:6、方程(1)有形如的积分因子,充要条件:其中7、方程(1)有形如的积分因子,充要条件:它的积分因子为:8、方程有形如的积分因子,充要条件:它的积分因子为:其中这里的结束语:对于一阶微分方程,不同的形式有不同的积分因子,积分银子一般不会太容易求得,很多时候需要根据方程的特点进行判断,以上的一些情况是参考了一些文献后,整理而得到的一些特殊情况,对求解一些特殊方程有很大的帮助。参考文献:1、张新丽、、、