微分方程的积分因子求解法.doc

微分方程的积分因子求解法.doc常微分方程的积分因子求解法内容摘要:本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法,并推广到较一般的形式。关键词:全微分方程,积分因子。—、基本知识定义1・1对于形如()M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的微分方程,如果方程的左端恰是兀,y的一个可微函数U(x,y)的全微分,即dU(x,y)=M(x,y)dx+7V(x,y)dy,则称(),上述全微分方程的通解为U^y)=C,(C为任意常数).定理1・1(全微分方程的判别法)设M(兀y)在x,y平面上的单连通区域G内具有连续的一阶偏导数,则()是全微分方程的充要条件为dM(兀,y)dx()证明见参考文献[1]・定义1・2对于微分方程(1・1),如果存在可微函数“(兀,刃,使得方程〃(兀,y)M(x,y)dx+“(x,y)N(x,y)dy=0()是全微分方程,则称“(x,y)为微分方程(1・1)・2可微函数“(兀,刃为微分方程(1・1)的积分因子的充要条件为N(xy)dln“",y)_耐(x),)°山"(兀刃-dM(九刃dN(^刃'dydxdx()证明:由定理1・1得,“(x,y)为微分方程(1・1)的积分因子的充要条件为展开即得:(无,y)M(x,刃)=d(〃(x,y)N(x,y))dy dxg)屯aMg)処斗警21一啤斗“)・dyIoy ox丿上式整理即得(). 证毕注1・1若“(x,y)HO,则(1・3)和()同解。所以,欲求()的通解,只须求出(1・3)的通解即可,而(1・2)是全微分方程,故关键在于求积分因子“(兀刃。为了求解积分因子“(x,y),必须求解方程(,偏微分方程()是不易求解的;但是,当〃(兀y)具有某种特殊形式时还是较易求解的。二、特殊形式的积分因子的求法情况1当〃(x,y)具有形式“(Q时,方程(1・4)化为dxN(r>,)伽“(兀)-dM(x,y)dN(x,y)dx'dM(x,y)dN(x,y)'dxN(x,y)Idydx于是得到:()具有形如“(x)的积分因子的充要条件为1N(x,y)"dM(九y)dN(x,y)、dx只是x的连续函数,不含y・此时易得,=e类似地N()(1・1)具有形如“(y)的积分因子的充要条件为(x,y)dN()M(x,y)Idyc1只是y的连续函数,不含厂并且,p(y)=edx丿<0M(儿y)刊V(x,y)M(x,.y)ldy [p(x)y-q(x)]dx+dy=(x,y)dN(x,y)N(“)Idydx=p(x),故“(x)=方程两边同乘以“(x)=JE)<A得J""}dx[P(x)y-q(x)]dx+J}<LxJy=0,dx=0,故通解为-q(兀二C,dx,(c为任意常数)•情况2如果()具有形如〃(兀士y)的积分因子,令z=x±y,则“(x±y)二“⑵•由()得"dM(x,y)dN(x,y)dzN(x,y)^M(x,y)ldy于是得到:()具有形如〃(x±y)的积分因子的充要条件为"3M(兀,y)dN()、dx丿只是z=x±y的连续函数,此时积分因子为f 1“(z)=gx±y)=CeNg和g)l*dN()