微分方程的积分因子求解法.docx

微分方程的积分因子求
解法
用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！ ！
精心整理，用心做精品2
常微分方程的积分因子求解法
内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。
关键词：全微分方程，积分因子。
一、基本知识

M(x,y)dxN(x,y)dy0()
的微分方程，如果方程的左端恰是x,y的一个可微函数U(x,y)的全微分，即
dU(x,y)=M(x,y)dxN(x,y)dy,则称()为全微分方程.
易知，上述全微分方程的通解为U(x,y)=C,(C为任意常数).
(全微分方程的判别法)设M(x,y),N(x,y)在x,y平面上的单
连通区域G内具有连续的一阶偏导数，则()是全微分方程的充要条件为
M(x,y)N(x,y)(12)
yx
证明见参考文献[1].
(),如果存在可微函数(x,y),使得方程
(x,y)M(x,y)dx(x,y)N(x,y)dy0()
用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！ ！
精心整理，用心做精品3
是全微分方程，则称(x,y)为微分方程()的积分因子.
(x,y)为微分方程()的积分因子的充要条件为
用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！ ！
精心整理，用心做精品4
N（x,y）ln（X，y）-M（x,y）ln（X，y）=M（x，y）N（x，y）（）
xyyx
证明：，（x,y）为微分方程（）的积分因子的充要条件为
（（x,y）M（x,y））（（x,y）N（x,y））展开即得.
yx'
N（x,y）^Jl-M（x,y）J^=M（x，.N（x,y）（x,y）.
xyyx
上式整理即得（）.证毕
（x,y）0,则（）和（）同解。所以，欲求（）的通
解，只须求出（）的通解即可，而（）是全微分方程，故关键在于求积
分因子（x,y）o
为了求解积分因子（x,y）,必须求解方程（）o一般来说，偏微分方程
（）是不易求解的；但是，当（x,y）具有某种特殊形式时还是较易求解的。
二、特殊形式的积分因子的求法
情况1当（x,y）具有形式（x）时，方程（）化为
N(x, y)
d ln (x)
dx
M(x, y)
y
N(x, y)
x
用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！ ！
精心整理，用心做精品9
dln(x)_1M(x,y)N(x,y)
dxN(x,y)yx
于是得到:
（）具有形如（x）的积分因子的充要条件为
1M(x,y)N(x,y)
N(x,y)yx
1 M (x,y)
只是x的连续函数，，（x）
N(x,y) e
N(x,y) dx
x
用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！ ！
精心整理，用心做精品9
用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！ ！
精心整理，用心做精品9
类似地
用心整理的精品 word文档，下