微分方程的积分因子求解法.docx

常微分方程的积分因子求解法
内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一 般的形式。
关键词： 全微分方程，积分因子。
一、基本知识
对于形如
M (x, y) dx + N (x, y) dy = Ce N (x, y)+m (x, y)〔 6y 6x ),, (C 为任意非零常数).
例 求(2x3 + 3x2y + y2 - y3)dx + (2y3 + 3xy2 + x2 -x3)dy = 0 的积分 因子.
解：因Me(中-*,-x；
故方程具有形如R(x + y)的积分因子，取C = 1得，R(x + y) = eL+yd(x+y)
1
= .
(x + y )2
情况3如果()具有形如r (xy)的积分因子，令z = xy ,则R(xy) = R(z).
由()得
d ln R (z )= 1 ( 6M (x, y) _ 6N (x, y)'
,
dz yN (x, y) - xM (x, y)(6y 6x J
于是得到：
()具有形如R(xy)的积分因子的充要条件为
1 1竺±y2/N(x,y)]只是z =盯 的连续函数，此时积分因 yN(x, y) - xM (x, y)( dy )
子为
f 1 f (x,y) (x,y))d 、
似 z)=似 xy) = Ce yN (x, y) - xM (x, y) [ 8y 8x 产,(C为任意非零常数).
+ (x-3x3y2)dy = 0的积分因子.
解：因的西"〔8-辛〉-x
故方程具有形如Mxy）的积分因子，取C = 1得
d (xy) _ 1
=e xy ——
(xy)3
情况4 一般地，如果方程（）具有形如^（x^ 土 y〃）的积分因子，令
Z = xm 土 yn ,则 ^ (xm 土 yn ) = R (Z).由()得
d ln r (z )= 1 f 8M (x, y) _ 8N (x, y)'
, dz mxm-1N (x, y)干 nyn-1M (x, y)( 8y 8x /
于是得到
()具有形如R (xm 土 yn )的积分因子的充要条件为
1 f8M (x, y) -8N(x, y)]只是 z = xm 土 yn 的连续函数, mxm-1N (x, y) + nyn-1M (x, y) 18y 8x )
f 1 f 8M (x,y)-8N(x,y)力1
此时积分因子为R(z) = R(xm 土 yn ) = Ce mxm-1N(x,y)+nyn-1M (x, y) [ 8y 8x 尸，(C为
任意非零常数).
类似地，我们有
（）具有形如R（xkyi）的积分因子的充要条件为
1 f8M,，y)-":y)]只是z = xkyi的连续函数，
kxk-1 yiN (x, y) - lxkyi-1M (x, y) ^ 8y 8x )
f 1 f 8M (x, y) _8N (x, y)限
此时积分因子为R (z) = R (xky1) = Ce kxk-1 y1N(x,y)-ixky1 -1