祖暅原理及其分析.doc

祖暅原理及其分析摘要:刘徽在发现《九章算术》球体积公式错误的基础上,构造了"牟合方盖",正确指出了解决该问题的思路。祖氏父子间接求出了"牟合方盖"的体积,从而彻底解决了球体积计算公式的难题,并提出了祖暅原理。本文回顾了中国古代数学取得的巨大成就,激发大家的民族自豪感和学习数学史的热情,然后用高等数学的知识证明了祖暅原理,强调高等数学对中学数学教学的指导作用,增强大家学习高等数学的自觉性。一、刘徽对球体积公式的探索刘徽一生不仅成就卓越,而且品格高尚。在学术研究中,他既不迷信古人,也不自命不凡,而是坚持实事求是,以理服人。如少广章的“开立圆术”给出的球体积计算方法相当于公式V=9/16D³(这里的D为球的直径),刘徽对这一公式的正确性产生怀疑,他娴熟的使用界面法进行验证,发现内切圆的体积与正方形的体积之比为π/4,在《九章算术》取π=3的情况下,只有在内切球与圆柱的体积之比也是π/4时,上述近似公式才成立,而实际上后者是不成立的,为了说明这一点,刘徽又引入了一种新的立体:以正方体相邻的两个侧面为底分别做两次内切圆柱切割,剔除外部,剩下的内核部分刘徽称之为“牟合方盖”。他用截面法证明内切球与“牟合方盖”的体积之比为π/4,而明显可以看出,“牟合方盖”的体积比圆柱要小,故上述公式是错误的,显然,如果能求牟合方盖的体积,球的体积就自然可以求出了。但对于牟合方盖的体积如何求出,刘徽百思不得其解,故最后不得不“付之缺疑,以俟能言者”。刘徽没有成功,但他的思路正确,为后人解决这一问题打下基础。二、祖暅原理祖氏父子在研究《九章算术》及刘徽注时发现了刘徽遗留下来的关于如何计算“牟合方盖”的问题,并且开始沿着刘徽的道路继续探索,经父子俩不懈的努力,终于由祖暅解决了牟合方盖体积的计算,得到牟合方盖与其外切正方形的体积之比是2/3,祖暅还将其推导过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用过得不可分割原理,总结提炼成一般的命题:“幂势相同,则积不容异”,即夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,若所的截面总相等,则此二几何体体积相等。它们被称为“祖暅原理”。祖氏父子所用的方法论证严谨,推倒完善,无懈可击,同时,这实际上就是西方数学界所谓的“卡瓦列里原理”。三、卡瓦列里原理在数学上,卡瓦列利以他的不可分量方法而闻名。这个方法的基本思想是:线是有无穷多个点构成的,面是由无穷多条线构成的,立体是由无穷多个平面构成的。点、线、面分别就是线、面、体的不可分量。卡瓦列利通过比较两个平面或立体图形的不可分量之间的关系来获得这两个平面或立体图形的面积或体积之间的关系,这就是著名的卡瓦列利定理(又称卡瓦列利原理)。四、祖暅球体积公式证明如图,他把正方体(1)等分为8个小正方体,去除其中一个,以左下棱为轴、棱长