第四章 多元线性回归模型.ppt

第四章多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
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第一节多元线性回归模型的概念

在许多实际问题中,我们所研究的因变量的变动可能不仅与一个解释变量有关。因此,有必要考虑线性模型的更一般形式,即多元线性回归模型:

t=1,2,…,n
在这个模型中,Y由X1,X2,X3, …XK所解释,有K+1个未知参数β0、β1、β2、…βK 。
这里,“斜率”βj的含义是其它变量不变的情况下,Xj改变一个单位对因变量所产生的影响。
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例1:

其中,Y=在食品上的总支出
X=个人可支配收入
P=食品价格指数
用美国1959-1983年的数据,得到如下回归结果(括号中数字为标准误差):




Y和X的计量单位为10亿美元(按1972不变价格计算).
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多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下:
价格不变的情况下,个人可支配收入每上升10亿美元(1个billion),( billion)。
收入不变的情况下,价格指数每上升一个点,
()
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例2:
其中,Ct=消费,Dt=居民可支配收入
Lt=居民拥有的流动资产水平
β2的含义是,在流动资产不变的情况下,可支配收入变动一个单位对消费额的影响。这是收入对消费额的直接影响。
收入变动对消费额的总影响=直接影响+间接影响。
(间接影响:收入影响流动资产拥有量影响消费额)
但在模型中这种间接影响应归因于流动资产,而不是收入,因而,β2只包括收入的直接影响。

在下面的模型中:
这里,β是可支配收入对消费额的总影响,显然β和β2的
含义是不同的。
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回到一般模型


t=1,2,…,n
即对于n组观测值,有
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其矩阵形式为:

其中
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第二节多元线性回归模型的估计
多元线性回归模型的估计与双变量线性模型类似,仍采用最小二乘法。当然,计算要复杂得多,通常要借助计算机。理论推导需借助矩阵代数。下面给出最小二乘法应用于多元线性回归模型的假设条件、估计结果及所得到的估计量的性质。

(1)E(ut)=0, t=1,2,…,n
(2)E(ui uj)=0, i≠j
(3)E(ut2)=σ2, t=1,2,…,n
(4)Xjt是非随机量, j=1,2, … k t=1,2, … n
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除上面4条外,在多个解释变量的情况下,还有两个条件需要满足:
(5)(K+1)< n;
即观测值的数目要大于待估计的参数的个数
(要有足够数量的数据来拟合回归线)。
(6)各解释变量之间不存在严格的线性关系。
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上述假设条件可用矩阵表示为以下四个条件:
(1) E(u)=0
(2)
由于
显然, 仅当
E(ui uj)=0 , i≠j
E(ut2) = σ2, t=1,2,…,n
这两个条件成立时才成立,因此, 此条件相当前面条件(2), (3)两条,即各期扰动项互不相关,并具有常数方差。
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