至少至多问题.doc

《至少性问题和至多性问题》解决至少性问题和至多性问题的根本思路是分类讨论,但当类别较多时,也可以采用排除法来考虑,利用排除法解决问题时要注意不满足条件的情况有几种,每一种不满足条件的情况如何计算;同时要注意正确理解至少和至多的真正含义,如果能将问题适当的转化,则可以利用数学模型来解决问题例1:将5本不同的书分给3人,每人至少1本,有几种不同的分法?解析:每人至少1本,则出现两种情况:(1)1人1本,其余两人2本;先将5本书分成三份,再把这3份分给三个不同的人,则(2)1人3本,其余两人1本;先将5本书分成三份,再把这3分分给三个不同的人,则则一共有+种不同的分法点评:在每一类中,都采用了先取元素分份,然后在将三份分给三个人的方法,即分堆问题的正确使用,同时体现了向基本类型转化的思路,此题若采用排除法过于复杂另解;转化为5个小球放入3个盒子,每个盒子至少有一个球的问题,则结果同上例2:从7名男生和5名女生中选出5人组成代表队,其中最多有3名男生,则不同的选法种数有多少?解析;被选出的5人中最多有3名男生,则出现4类:3名男生和2名女生:2名男生和3名女生:1名男生和4名女生:5名女生:则不同的选法共有:+++从7名男生和5名女生中选出5人共有中方法,不满足条件的情况有下列情况(1)4名男生和1名女生:(2)5名男生:则不同的选法有——点评:当分类的次数少于不满足条件的类别时,可采用分类,否则可采用排除法,分类解决比较直接,而且在每一类中计算方便,排除法中要明确不满足条件的情况有几种,不可遗漏例3:从98件合格产品和2件次品中取出3件,至少有一件是次品的方法有多少种?解析:100件产品中总共有2件次品,则分两类解决恰好有1件次品:恰好有2件次品:则一共有+种不同的取法排除法:从100件产品中取出3件共有中取法,不满足条件的情况只有一种,即取出的3件产品中无次品:,则共有—种不同的取法下列做法是一种常见的错误:分两步完成这件事:从2件次品中取出1件次品:把剩下的1件次品和98件合格品放在一起,从中取出2件产品:则共有中不同的取法点评:这种做法能够保证取出的3件产品中至少有一件次品,但出现了重复现象;把次品标为,合格品标为等,则先取和先取,然后取是一样的,出现重复问题时,有时能够排除,但有时重复的情况不容易排除,因此这种方法看似简单,能够完成这件事,但不正确,与此题类似的还有如下的问题相关连接:从5台“联想”计算机和4台“金长城”计算机中任选4台,其中既有“联想”又有“金长城”的不同取法种数为多少?错误解法:从5台“联想”计算机中取出1台,从4台“金长城”计算机中取出1台然后从剩余的7台计算机中任意取出2台,则结果为:点评:设联想电脑为,金长城电脑为,则按照上述方法取出一种为:,与取出的重复,此题解决的基本方法是分类1)取出的4台中1台联想,3台金长城;2)取出的4台中2台联想,2台金长城;3)取出的4台中3台联想,1台金长城;则所求结果为;++例4:6个人排成一排,甲、乙两人中间至少有一个人的排法有多少种?解析:“甲、乙之间至少有一个人”,则此题可看成至少性问题,分类是解决至少性问题的基本方法,即:两人之间有一个人、有两个人、有三个人、有四个人,进而转化为相邻问题和不相邻问题来解决(1)两人之间有1个人:(2)两人之间有2个人:(3)两人之间有3个人:(4