‘至多＇与‘至少＇型问题初探.pdf

浙江省慈溪市宗汉锦纶中学( 3 1 5 3 0 1 ) 王晓峰
‘’
⋯— 0
在各级各类竞赛中常出现涉及至多与 2 + 4 + + 1 8 + 2 0 1 1 0 > 1 0 , 故此时最多有
‘’
1 0 3 , 1 0 3
至少型的题目, 这类问题属于非常规问题, 个偶数, 另外个是奇数但个偶数与
0
. 1 0
灵活性较大, 处理起来可供选择的方法较少个奇数之和不可能是偶数, 因此偶数最多
一
在数学上我们般将其划分为离散型最值问有 9 个符合. 同理若要偶数尽可能少, 即需奇
⋯一
一 1 9 1 0 0
. 1 + 3 + 5 ,
题, 以下通过实例谈谈我个人的点思考数尽可能多, 因为+ + 即
一 1 0 3 0 ,
、极端估算此时有个奇数, 另外个数只能均为这
, 8
1 . ( 江苏第 1 9 届初中竞赛试题) 有 2 0 个与题意不符故最多只能有个奇数( 偶数个
1 , 5 .
队参加比赛, 每队和其他各队都只比赛场, 奇数和为偶数) 则最少有个偶数
1 . 1
每场比赛裁定有队获胜, 即没有平手获胜三、抽屉原理
8 5 . 2 1
场得 1 分, 败者得 0 分, 则其中任意个队的( 江苏第届初中竞赛试题) 在边长为
‘
一
,
. 2 厘米的边三形意取些点如果保
得分和最多是——分等角内随
一 1
分析假设有 1 队获全胜, 得 1 9 分, 紧随证所取的点中定存在距离小于厘米的两
⋯⋯
1 8 1 7 , 8 , )
其后的为分、分故个队的得分和点那么取的点至少应有(
最多的是 1 9 + 1 8 + 1 7 + 1 6 + 1 5 + 1 4 + 1 3 + 1 2 ( A ) 4 个( B ) 5 个( C ) 6 个( D ) 7 个
—
1
4 . ,
1 2
所示
分析如图
分
. 8
2 ( 全国联赛试题) 黑、白、黄筷子各根连结该等边三角形三边
一 4
混在起, 黑暗中从这些筷子中取出颜色不同的中点, 将其分割为个
, . 1 厘边
的两双至少取——根才能保证要求边长均为米的等
分析假定先摸出的 8 根全是黑色的, 剩三角形, 根据抽屉原理可
图 1
余两种颜色: 白与黄, 若又摸出的 2 根恰好是 1 知若给 5 个点, 则至少有
一
白 1 黄, 若要符合要求, 只需最后再摸出 1 根 2 个点落在同个小等边三角形( 抽屉) 中, 故
—
即可( 非白即黄) , 故至少取 8 + 2 + l l l 根才正确选项为( B ) .
能保证要求. 6 . 在边长为 l 的正方形中任意放人 9 个
二、枚举比较点, 证明:在以这些点为顶点的三角形中, 至少
一一
3 . ( 全国联赛试题) 把 1 0 0 个苹果分给若有个三角形的面积不超过八分之.
1
干个人, 每人至少分个且每人分的数目各不分析如图 2 , 将原正
相, 么至人. 4
同那多有个方形分割为个全等的小: ===全
1 2 ⋯ 1 3 — 9 l 1 0
分析因为+ + + < 0 , 矩形, 若 9 个点放入, 根据