一元二次方程、圆、锐角三角函数.doc

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一元二次方程
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【知识点1】一元二次方程的定义
(1)定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
(2)概念解析:
一元二次方程必须同时满足三个条件:
①整式方程,即等号两边都是整式,方程中如果有分母,那么分母中无未知数;
②只含有一个未知数;
③未知数的最高次数是2。
(3)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面:“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”;“一次项的系数不等于0”;“整式方程”.
(4)一元二次方程的一般形式
①一般地,任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)。这种形式叫一元二次方程的一般形式。其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项;c叫做常数项。一次项系数b和常数项c可取任意实数。二次项系数a是不等于0的实数,这是因为当a=0时,方程中就没有二次项了,所以,此方程就不是一元二次方程了。
②要确定二次项系数,一次项系数和常数项,必须先把一元二次方程化成一般形式。
练习:
1、下列方程中是关于的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2、方程的二次项系数. 一次项系数. 常数项分别为( ) .
. 2. 9 . -6. -9 . -6. 9 D.-2. 6. 9
【知识点2】一元二次方程的解(根)的意义
(1)一元二次方程的解(根)的意义:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根。
(2)一元二次方程一定有两个解,但不一定有两个实数解。这x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根,则下列两等式成立,并可利用这两个等式求解未知量。
ax12+bx1+c=0(a≠0),ax22 +bx2+c=0(a≠0)
练习:
1、一元二次方程的根( )
A、 B、 C、 D、
2、关于的方程的一个根为1,则
的值为( )
B. . . -.
3、关于x的一元二次方程的一个根为0,则实数a的值为。
【知识点3】根判别式 
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
定理1  ax2+bx+c=0(a≠0)中,Δ>0方程有两个不等实数根.
定理2  ax2+bx+c=0(a≠0)中,Δ=0方程有两个相等实数根.
定理3  ax2+bx+c=0(a≠0)中,Δ<0方程没有实数根.
2、根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
定理4  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根Δ>0.
定理5  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根Δ=0.
定理6  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根Δ<0.
注意:(1)再次强调:根的判别式是指Δ=b2-4ac。(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0.
 3、根的判别式有以下应用:
①  不解一元二次方程,判断根的情况。
例1.  不解方程,判断下列方程的根的情况:
(1)         2x2+3x-4=0 (2)ax2+bx=0(a≠0)
解:(1) 2x2+3x-4=0
a=2, b=3, c=-4,
∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0
∴方程有两个不相等的实数根。
(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程,此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项视为零,
∵Δ=(-b)2-4·a·0=b2,
∵无论b取任何关数,b2均为非负数,
∴Δ≥0, 故方程有两个实数根。
②  根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
?关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根;
分析:由判别式定理的逆定理可知(1)Δ>0;(2)Δ=0;(3)Δ<0;
解:Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k
(1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,即36-4k><9
(2)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ