卷积积分的性质.ppt

复习
1、任意连续时间信号的卷积及其零状态响应
2、卷积积分的图解法
§ 卷积积分的性质
卷积代数运算
与冲激函数或阶跃函数的卷积
微分积分性质
卷积的时移特性
相关函数
卷积积分是一种数学运算,它有许多重要的性质(或运算规则),灵活地运用它们能简化卷积运算。
一、卷积代数运算



系统并联运算
系统级联运算
证明
例1:P67
证明交换律
卷积结果与交换两函数的次序无关。
一般选比较简单函数进行反转和平移。
系统并联
系统并联,框图表示:
结论:子系统并联时,总系统的冲激响应等于
各子系统冲激响应之和。
系统级联
系统级联,框图表示:
结论:,总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。
,可以交换子系统响应次序。
二、与冲激函数或阶跃函数的卷积
1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t)
证:
f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0)
2. f(t)*δ’(t) = f’(t)
证:
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t)
3. f(t)*ε(t)
ε(t) *ε(t) = tε(t)
4. 卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t),
则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t)
= f1(t)* f2(t –t1 –t2)
= f(t –t1 –t2)
例1:P70
例2
卷积时移性质例2
例2:f1(t), f2(t)如图,求f1(t)* f2(t)
解: f1(t) = 2ε(t) –2ε(t –1)
f2(t) = ε(t+1) –ε(t –1)
f1(t)* f2(t)
= 2 ε(t)* ε(t+1) –2 ε(t)* ε(t –1)
–2ε(t –1)* ε(t+1) +2ε(t –1)* ε(t –1)
由于ε(t)* ε(t) = tε(t)
据时移特性,有
f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε(t+1) - 2 (t –1) ε(t –1)
–2 tε(t) +2 (t –2) ε(t –2)
三、卷积的微积分性质
1.
证:上式= δ(1)(t) *[f1(t)* f2(t)]
= [δ(1)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t)
2.
证:上式=ε(t) *[f1(t)* f2(t)]
= [ε(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t)
3. 在f1(–∞) =f2(–∞) = 0的前提下,
f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
例1
例2:P73