线形代数课件2.6.rn的标准正交基.ppt

第六节Rn的标准正交基一、向量空间的基我们知道,,只要找到向量组的一个极大无关组,,如果已知一个向量组的秩为r,,,称任意n个线性无关的向量1,2,…,1=(1,0,…,0)T,2=(1,0,…,n=(1,0,…,0)T为Rn的一组基,一般称1,2,…,,1=(1,0,…,0)T,2=(1,1,…,0)T,…,n=(1,1,…,1)T也是Rn的一组基.…,0)1,2,…,n为Rn的一组基,则对于任意Rn,可以表为1,2,…,n的线性组合,且表示法唯一,使=a11+a22+…+ann即存在a1,a2,…,anR,则称组合系数a1,a2,…,an为在基1,2,…,n下的坐标,记作(a1,a2,…,an).例1分别求=(d1,d2,…,dn)TRn和基1=(1,0,…,0)T,2=(1,1,…,0)T,…,n=(1,1,…,1)T下在标准基1,2,…,n的坐标.=(d1,d2,…,dn)T=d11+d22+…+dnn,即在标准基下的坐标为(d1,d2,…,dn),恰为在基1,2,…,n下的坐标为(x1,x2,…,xn)则有x11+x22+…+xnn=此线性方程组的增广矩阵为把它化为行最简形得于是方程组的解为x1=d1–d2,x2=d2–d3,…,xn–1=dn–1–dn,xn=在基1,2,…,n下的坐标为(d1–d2,d2–d3,dn–1–dn,dn).二、=(a1,a2,…,an)T,=(b1,b2…,bn)T为Rn中的两个向量,称为向量与,T,设=(1,1,1,1)T,=(1,-2,0,-1)T,=(3,0,-1,-2)T,(1)T=T;(2)(k)T=kT;(3)(+)T=T+T;(4)T0,且T=0=,,为Rn中的任意向量,k(1),(2),(3)可推出:(k11+k22)T=k11T+k22T,T(k11+k22)=k1T1+k2T、=(a1,a2,…,an)TRn,称为向量的长度(或模),即如果||||=1,则称,||||.(1)||||0,且||||=0=0;(2)||k||=|k|·||||;(3)|T|||||·||||,且|T|=||||·|||| ,,为Rn中的向量,k0,,例:设=(1,1,1,1)T,=(1,-2,0,-1)T,则于是可得到与,对应的单位向量分别为:四、,Rn,如果T=0,则称向量,(即该向量组中的向量都不是零向量)1,2,…,s(s2)中的向量两两正交,称1,2,…,,,Rn中的零向量与任意向量都正交;与的内积,可以表为T=||||·||||cos,其中是与的夹角(0).所以与均为非零向量时,与正交,即T=0cos=0或即与相互垂直.