浅谈数学归纳法的应用技巧.pdf.pdf

维普资讯
科技信息高校讲坛年第期
浅谈数学归纳法的应用技巧
张顺鹏
许昌学院数学科学学院河南许昌
【摘要】数学归纳法是中学数学教学内容中的重点与难点之一。重点是数学归纳法使用面比较广;难点则是因为它是学生第一次接触从
。本文阐明了数学归纳法的原理及基本思维方法,并通过对典型例题的分析,揭示其在解
题中的应用技巧。
【关键词】数学归纳法;应用;解题
数学中的许多问题与自然数有关,这类问题的求解及证明惯用的证明:当时,左边,右边。左边右边。.’.不等式
方法就是数学归纳法。数学归纳法是高中数学中一种常用的证明方成立
法,应用极其广泛,既是高考的一个热点,又是教学的一个难点,与其他假设当时,不等式成立口
证明方法相比,由于数学归纳法格式固定,常使学生看似简单易懂,实
则又难以理解。本文阐明了数学归纳法的原理及基本思维方法,并通、/ ,
过对典型例题的分析,揭示其在解题中的应用技巧。当:时,则————一、/
.数学归纳法的基本形式
用数学归纳法证明一个命题的步骤分为清楚的两步:
验证当取某一个自然数即对于此命题的“最小自然数”、/
时命题成立,说明命题在特殊情况下是正确的,其根据是自然数集的
现在关键证明—、/
“最小数原理”。即自然数集的每一个非空的子集必有最小数。这步可/
称为归纳奠基,是论证的基础,是命题得以成立的起点。—一、/ : /
—、/
在假设当取某一自然数≥时结论正确的前提下,严格/ /
推导出当取的后继自然数时命题也成立,说明命题的正确性
±垡一:一%:
是可以传递的,从而具有普遍性。这步可称为归纳递推,是关键,其基本/
构思是“找出在::时命题也能表现为类似时的结果”。因此,
· ——: % 一即当时,原不等式成立。
. .
归纳递推的基本构思在于设法使用归纳假设。、/
.例析数学归纳法的应用综合对于任意自然数,命题成立。
.有关代数恒等式的证明一般采用的证明方法是在等式两边..
同加或同乘以第项,然后适当变形即可得证。当给出的不等式不容易直接用数学归纳法证明时,可以对命题进
例:求证:.“兰旦行等价转化,化归为证明相对容易的不等式。

例:已知数列满足≠,且凡。
证明:当时,左边. ;——Ⅱ所以
Ⅱ求证:数列对于任何,有成立,或者对于任何
当时命题成立
, 有成立
假设当≥时命题成立,即:··Ⅱ
证明:当时,结论显然成立,
.
将此式的两边同乘以得:
设:时,结论成立,即则:兰


。.∞。. 。。: .。旦旦
:一兰: 。
· 。。即当:时原式成立

. 鼽
旦
由可知恒成立,故时恒成立
所以当时命题成立。综合对于任意自然数命题成立。同理时恒成立,即时, 恒成立。
.有关数列命题的证明..加强命题。由难到易
有些命题直接去证明比较困难,比如说某些不等式,可以通过用
例:求证:等差数列前项和的公式。即一其中
数学归纳法先证明加强或削弱的不等式,再回到原不等式上去的方式
为首项,为公差。使不等式得证。
证明:当时,,等式成立。