(2)点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用.doc

(2)点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用.doc:..2012年高中数学竞赛讲座在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。:通过邻补角关系证明三点共线;证明两点的连线必过第三点;证明三点组成的三角形面积为零等。门5三4)点共线可转化为三点共线。例1如图,设线段初的中点为C,以M和仍为对角线作平行四边形AECD,朋、阳。又作平行四边形伽9,CGKE。求证:H,C,K三点共线。证连必DG,,ADZEC垒KG,知四边形力磁是平行四边形,。四边形力磁是平行四边形,其对角线初,個互相平分。而C是力〃中点,线段KH过C点,故A;C,〃三点共线。例2如图所示,菱形力〃6»中,Z/l=120°,©0为△肋T外接圆,〃为其上一点,连接必交沥于龙仙交仞延长线于庇求证:D,E,厂三点共线。证如图,连北;DF,DE。因为〃在©0上,则Z如炉60。二ZAB&ZACB,有3MCsACF,FCF~ma~~ca~~cdq又因为ZAM(=BAC9所以△AMCsHEAC,得MCAC_ADAM~AE~AE°所以竺二丝,又ZBA^ZBO>120°,知△6?"sCDAE\ADE°所以AADE-〃EC,所以/ADRZDF庆上ADE,于是尸,E,〃三点共线。例3四边形力砲内接于圆,其边力〃与%的延长线交于点只AD与加的延长线交于点Q。由0作该圆的两条切线血和QF,切点分别为纟F。求证:P,E,尸三点共线。证如图。连接并在〃上取一点必使得B,C, 戶四点共圆,隹CM,PF。设〃与圆的另一交点为X,并作%丄PF,垂足为Go易如QF二QM・QWQC・QB ①乙PM(二上AB&乙PDQ。从而C,D,0,%四点共圆,于是PM・P&POPD②由①,②得PM•PQ^QM•PQ-PC・P陕QC・QB,即PgQC・QB+PC•PD°易知勿•PC二PE'•PF,又QF二QC・QB,有PF•PF+QF二PD・PSQC・AXPQ,即PE,•PPPQ-QFq又PQ—QF二PC—GF=(PG+GA-(PG—GA二PF・(PG—GA,从而朋'二PG—G&PG—GE',即&庐,故F与F重合。所以只E,厂三点共线。例4以圆。外一点只引圆的两条切线必,PB,A,〃为切点。割线/O交圆。于C,D。又由〃作G?的平行线交圆0于E。若尸为Q?中点,求证:昇,F,F三点共线。A证如图,连处;EF,,OP,BF,OF,延长阳交加于G。易如刃丄/P,0B丄BP,〃丄CP,所以只A,F,0,B五点共圆,有/AFKZAOX/POB^乙PFB。乂因CD//BE,所以有上PF0乙FBE,ZEFE乙FEB,而代加为血的垂直平分线,故鋅/%,/FEB^ZEBF,所以乙AFW乙EFD,A9F,〃三点共线。(如三角形的3条高线交于一点),或证明第3条直线通过另外两条直线的交点,也可转化成点共线的问题给予证明。例5以的两边初,M向外作正方形肋陋,ACFG。△力加的高为力〃。求证:AH,BF,G?交于一点。证如图。延长必到必使A店BC。连CM,BM。设CM与BF交于点K。在和中,A(=CF9A由BC,ZMAC+ZHA018Q0,并AZ7567^90°+Z7O,因此Z/674Z曲U180。ZMAOZBCFo从而△加IQ△财;ZAC^上MCZ0°,即BF_LMC。同理CD丄MB。AH,BF,仞为△必咒的3条高线,故血/,BF,〃三线交于一点。例6设戶为内一点,ZAPB—ZAC彷ZAPC—ZABC。又设〃,F分别是丹及的内心。证明:AP,BD,必交于一点。证如图,过戶向三边作垂线,垂足分别为斤,S,T。连用S,ST,RT,域BD交AP于M,CE交AP予N。易知只R,S;AT,B,R; ASRCTP,S,,贝0ZAPB-ZACB=ZPAaZPBC=/PRS+乙PRT二乙SRT。同理,ZAPC-ZABOZRST,由条件知乙SR*乙RST,所以RWST。又RhPBsinB,ShPCsinC,所以PBsinXPCsinC,那么PB_PC_ac°由角平分线定理知ANACAB_AM~NP~~PC~~PB~^1P°故必W重合,即力只BD,6F交于一点。例7©a与©Q外切于戶点,幽为两圆的公切线,其中0,斥分别为©a,®a±的切点,过a且垂直于的直线与过斤且垂直于R0\的直线交于点I,」W垂直于0仏垂足为N,IN与QR交于点诡证明:PM,R0\,他三条直线交于一点。0\,N,M四点共圆,有Z证如图,设他与他交于点0连MO,&纶张90。,所以Q,QM匸乙QOQ。而Z/他二90。二乙RQO\、所以乙IQ店乙03,