转化思想在数学解题中的应用--专业文档--.doc

转化思想在数学解题中的应用
谢全苗
客观事物在不断地运动变化,事物之间在互相转化。反映在数学上的转化思想就是在处理问题时,把待解决或难解决的问题,通过某种转化,变为一类已经解决或比较容易解决的问题,最终求得原问题的解决。
波利亚指出:“解题过程就是不断变更题目的过程”。转化思想就是要求我们换一个角度去看,换一种方式去想,换一种语言去讲,换一种观点去处理,以使问题朝着有利于解决方向不断变更,从不同的角度和特征出发,把同一问题用不同的形式在不同的水平上转化出来。转化就如同“翻译”,通过“翻译”,不仅使我们对能解决的问题不再停留在解决的层面上,而且让我们能站得更高、看得更清、想得更好、表叙得更简洁,做到既知道有几种解法,又明白以怎样方向入手去解才是最简。下面举例说明。
1 换一个角度去看
例1 若正数a、b满足,则ab的取值范围是__________。(1999年全国高考题)
分析本题有多种解法,此题若由直接推出ab的取值范围是走不通的,现在只能换一个角度,用转化的思想,由于a、b是正数,显然成立,当且仅当a=b时取等号。把等式转化为关于ab的不等式,这是关键的一步。解不等式(舍去),所以。即ab的取值范围是[9,。
例2 如图1,已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD|,点E分有向线段AC所成的比为λ,双曲线过C、D、E三点,且以A,B为焦点,当时,求双曲线的离心率e的取值范围。(2000年全国高考试题)
分析一看到这个题,不要说当年一些普通考生望题兴叹,就是一些基础不错的考生也没了头绪,这不但是由于它是一个双参数范围问题,而且是在未知双曲线方程的情况下来求离心率e的取值范围,再加上大家期望要用上的已知条件:
,又是大家在日常解题中着实有点感到后怕的“点E分有向线段AC所成的比”。这时,一些思维灵活,能换一个角度去看的学生就有了用武之地:
他们首先看到题设中无系无方程,因此,用分而治之的策略,从建立坐标系,确立方程的形式入手:
如图1,以AB的垂直平分线为y轴,以AB所在直线为x轴,建立直角坐标系xOy,则CD⊥y轴。因为双曲线过C、D,且以A,B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称,并设双曲线方程为,则离心率。
在做好这一基础性工作的前提下,如何由λ的范围来求e的范围就成了解决本题的思维核心,他们看到这个双参数问题中,λ和e既互相制约,又在一个矛盾中统一(统一在一个方程里),这是考查学生在解题某个阶段视哪一个为主元,哪一个为辅元,而在解题另一个阶段,又需要主辅互换,反客为主,真是个考查辩证思维,灵活转化的绝妙压轴题。题虽难,但也正是考生一显身手,展示自己思维能力的好地方,也是与众考生一决高下的分水岭。因此,他们根据λ的范围已知这一条件,进而确立:先视λ为主元,再视e为主元,找出两个参数之间的关系,将问题转化为已知范围,再解不等式,由此求出参数e的范围这样一个整体的思路和思维策略。
于是,他们先视λ为主元,找λ的关系式:
依题意,记A(-c,0),C(),E(),其中为双曲线的半焦距,h是梯形的高。由定比分点公式得:。
但在如何再视e为主元,找出两个参数之间的关系时,又一次体现思维水平的层次性。
视角1 视点C、E为直线AC与双曲线的交点,这时,虽能把方程代入。这一常规思路虽正确,解题方向也不错,但要用上这一方程不