例谈变形技巧在数学解题中的应用毕业论文.doc

本科生毕业论文
题目:例谈变形技巧在数学解题中的应用

目录
摘要……………………………………………………………………1
一、变形的相关理论…………………………………………………2
二、变形技巧在一元二次方程中的应用……………………………3
三、变形技巧在因式分解中的应用…………………………………5
四、变形技巧在不等式中的应用……………………………………7
五、变形技巧在三角函数中的应用…………………………………9
参考文献………………………………………………………………11
摘要:变形是数学解题的一种基本方法, 变形能力的强弱制约着解题能力的高低. 本文主要探讨变形技巧在一元二次方程、因式分解、不等式和三角函数解题中的应用. 掌握并灵活运用好变形技巧, 可以将复杂问题简单化, 减少麻木性, 提高解题效率.
关键词:数学解题;变形技巧;一元二次方程;因式分解;基本不等式;三角函数
中图分类号:O119 文献标识码:A

例谈变形技巧在数学解题中的应用
陈海霞(1120510125)
数学是个有机的整体, 各部分之间相互联系, 相互渗透, 从而构成相互交错的立体空间, 对各部分知识间的灵活掌握, 更需要融会贯通.[1] 近些年, 数学题目越来越新颖, 技巧性强,对有些题目进行适当变形, 把复杂的数学问题简单化, 从而顺利求得问题的答案. 掌握并灵活运用好各类问题的变形技巧, 有助于培养学生的逻辑推理能力, 运算能力和空间想象能力,同时, 用变形的方法, 有助于把握数学问题的本质, 它既是教师常用的一种重要数学方法,也是学生解题时一种非常有效的思想方法. 此外, 数学的学习内容是有意义的, 富有挑战性的, 要重视学生的学习能力和学习方法, 充分利用数学变形技巧进行解题, 不断提升学生的数学素质.[2]
一、变形的相关理论
变形是数学解题的一种常用方法, 变形能力的强弱制约着解题能力的高低.[1] 变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段, 是化归、转化和联想的准备阶段, 它属于技能性的知识, 既灵活又多变, 一个公式, 一个法则, 它的表达形式多种多样, 也存在技巧与方法,在实践中反复操作才能把握
, 能够让学生更好的理解变形技巧, 乃至灵活运用. 变形的一般形式主要有以下三种:
1. 等价变形
等价变形就是利用等价关系进行的变形, 在等价关系的条件下, 通过等价变换的方式使数学问题得到解决, 等价变形的本质就是在保持原来各种量之间的关系不变的情况下, 只是改变它们的表达形式. 常见的等价变形依据有: 根据特定概念的定义, 对数式, 指数式的相互转化, 如对数函数, 可以等价变形为; 根据等式与不等式的基本性质, 比如移项, 系数化为; 根据计算的结果, 将具体方程或不等式的形式转化为其具体的解或解集等.
2. 恒等变形
恒等变形是在等价变形的思想指导下进行的, 它的变形形式有代数式恒等变形、多项式恒等变形、分式恒等变形、三角函数恒等变形、对数式恒等变形等. 若将两个代数式子中的字母换成任意相同的数值, 这两个代数式的值都相等, 我们就称这两个代数式恒等, 表示两个代数式恒等的式子叫做恒等式. 如是一个恒等式, 把式子变为的这步变形, 使变形的式子恒等, 我们把这样的变形叫做恒等变形.
3. 同解变形
同解变形是在等价转化思想的指导下, 通过等价的变换, 使得原来的等式与变形的等式有相同的解. 方程的同解变形的一般形式有: 交换其中任意两个方程的位置, 其余不变; 将任一个方程乘以一个非零的常数, 其余不变; 将任一个方程的常数倍加到另一个方程上, 其余不变. 需要注意的是:
①方程两边同时加上或减去同一个分式不是同解变形, 如方程的两边都加上, 得,原方程的解为, 而变形后的方程无解.
②方程两边同时乘以不是同解变形, 如方程的两边都乘以, 得, 即, 此方程的解为任何实数, 而原方程的解为.
③方程两边同时乘以或除以同一个整式不是同解变形, 如方程的两边都乘以, 得, 原方程的解为, 而变形后的方程解为, .
④方程两边平方不是同解变形, 如方程, 两边平方, 得, 原方程的解为, 而变形后的方程解为, .
二、变形技巧在一元二次方程中的应用
学生在平时学习中不善于积累变形经验, 在稍复杂的问题面前常因变形方向不清, 导致问题难以解决, 有些含有或可转化为一元二次方程的代数问题, 能对方程进行适当变形并施以代换, 常常可使问题化繁为简.[3] 下面列举说明.
例1 已知,是方程的两根, 求的值.
分析: 作为方程两根, ,地位是平等的, 而所求式子中
,的次数相差悬殊, 应设法将的次数降下来, 由, 得, 从左向右次数降低了, 对可进