奖惩系统在随机优序下的极小与极大平稳分布.pdf

第卷第期经济数学
年月、二、‘
奖惩系统在随机优序下的极小与极大平稳分布
伍宪彬
浙江万里学院基础学院,浙江宁波,
苏杭,成世学
中国人民大学信息学院,北京,
摘要奖惩系统一是世界各国机动车辆险中广泛采用的一种经验费率厘定机制文
习在最一般的框架下,给出了奖惩系统的数学建模与稳态分析本文将进一步证明,文口中给出的奖惩系
统两种特定的平稳分布恰分别是奖惩系统在随机优序下的极小与极大平稳分布特别地。基于这一事实严格
证明了文「〕提出的有关封闭型奖惩系统年度总保费的一个猜想
关键词奖惩系统,马尔科夫链平稳分布,随机优序
学科分类号,
引论
〔」中的引论首先简要地剖析了精算数学目前较活跃的三个研究领域,即破产论、风险排
序与信度理论研究中呈现的共同特点一方面指出它们具有较深刻的数学内涵,分别倚重于
概率论与数理统计中一些深层次的理论基础另一方面也指出,鉴于它们数学内容的艰深,还
鲜见在保险实务中有其不平凡的应用实例从而说明,精算数学中有深度的理论性研究与其
在保险实务中的应用这两者之间,似乎存在某种程度不相衔接的现象
巨〕中的引论还分析了另一种相反的态势,即在一些应用相当广泛的保险实务中,又鲜见
有人对它们作出严谨与深人的理论性分析典型的例子是奖惩系统一,
它在精算学中属经验费率厘定范畴自上一世纪的年代中期起,该系
统在欧洲便被应用于车险费率厘定中,现已被世界上大多数国家接受,并在车辆保险市场牢固
地确立了其支配地位但令人感到诧异的是,在现今被广泛引用的、由等撰写的关于
精算数学的巨著中,甚至未花些许笔墨提及这一制度关于奖惩系统的权威性文献为
撰写的著作,不过该著作侧重于精算实务,它虽对当代世界各国采用的多种具体
的奖惩系统作较为详尽的介绍,却未曾在理论层面上对奖惩系统给出统一与深人的分析
最近以国际精算界著名学者为首的北欧学派发表了一本现代精算风险理论专著
「」,其中虽辟篇幅不多的第章,一中译本,一专论奖惩系统,但
仍属个例分析范畴,未见有较深数学内涵的、严谨的一般理论性分析
为了弥补奖惩系统理论性研究的不足,文〕在最一般的框架下,以有限齐次马尔科夫链
对奖惩系统建模,证明了任一奖惩系统皆存在唯一的平稳分布此外,揭示了该平稳分布的结
收稿「期川肠一一
经济数学第卷
构,且给出了求解这一平稳分布的、具有递推特征的一般性算法特别地,针对两种具有特定转
移法则的奖惩系统,还给出了它们各自平稳分布的简明显式表示该文最后藉助一个数值简
例,提出了有关奖惩系统年度总保费上下界的一个猜想
本文可视为的续篇,严格地证明了前述猜想是正确的为证明这一猜想,我们首先将把
离散一维随机优序推广为随机矩阵间的随机优序,并建立了相关理论前述猜想的证明则是紧
密地联系于有关随机优序的这些研究结果的这一过程使我们确信,精算数学中若干具有深
刻数学内涵的研究领域如风险排序是可在保险实务中找到其不平凡的应用实例的本文与
〕一起,可视为我们在精算数学的理论研究与其保险实务的应用间寻求平衡的一种初步尝
试
本文其余部分的内容组织如下第节将简述离散一维随机优序与随机矩阵间的随机优
序之相关理论此外,着重推导了上述两类随机优序对于齐次马尔科夫链平稳分布研究的一个
有趣应用此节内容既为本文第节的研究工作提供了必要的数学前提,也有其独立的数学上
的兴趣第节将概述文有关奖惩系统的数学建模与稳态分析的主要内容第节是本文
研究的重点,它借助第节提供的数学工具,探讨了不同奖惩系统的诸平稳分布在随机优序下
的比较,从而严格证明了文最后提出的有关奖惩系统年度总保费的一个猜想
随机优序
随机优序是一类特殊的风险排序,风险排序目前已成为精算数学中
可与破产论相媲美的另一个理论研究热点在推动这一研究方向的进展中作出较大贡献的是
以国际精算界著名学者。。为首的北欧学派他们除发表了大量研究论文外,还撰写
专著对此作了较为系统的介绍见巨」的,巨〕与的等研究
的皆为一维的风险排序,除随机优序外,尚有一阶停止损失序、高阶停止损失序与无限阶停
止损失序即指数序我们也曾在与中讨论过这些风险排序在精算学理论研究中的若
干应用
本节限于讨论离散的随机优序,旨在将离散的一维随机优序推广为随机矩阵间的随机优
序,并将所得研究结果运用于齐次马尔科夫链的研究中,从而为在第节中探讨不同奖惩系统
的诸平稳分布在随机优序下的比较,提供了坚实的理论基础本节取材于的第节,略去了
其中大部分的证明,着重于更清晰地阐述诸概念间的演绎,并强调了若干易引起混淆的诸概
念之间的区别
本文中约定恒以有限维或可列无限维的行向量来表示离散分布,即称行向量垒,,
,⋯为离散分布,如。,‘一。,