一元二次方程知识点总结及典型习题.docx

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一、本章知识结构框图
一元二次方程
13
实际问题
设未知数，列方程
数学问题
13
ax 2
bx c
0(a 0)
13
开平方法
解 配方法
方 降
程 次
公式法
分解因式法
数学问题的解
13
实际问题的答案

检 验 x
b b 2
2a

4ac
13
二、具体内容
（一）、一元二次方程的概念
1．理解并掌握一元二次方程的意义
未知数个数为 1，未知数的最高次数为 2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数
13
（ 1）明确只有当二次项系数 a
0 时，整式方程
ax 2
bx c
0 才是一元二次方程。
13
（ 2）各项的确定 (包括各项的系数及各项的未知数 ).
（ 3） 熟 练 整 理 方 程 的 过 程3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解
4．列出实际问题的一元二次方程
（二）、一元二次方程的解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；
2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；
3．体会不同解法的相互的联系；
4．值得注意的几个问题：
13
2
(1) 开平方法：对于形如 x
n 或 ( ax
b) 2
n( a
0) 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未
13
知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解 .
形如 x2 n 的方程的解法：
13
当 n 0 时， x n ;
12
当 n 0 时，
x1 x2 0 ;
13
当 n 0 时，方程无实数根。
13
（ 2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为
( x m) 2
n的方程，再运用开平方法求解。
13
配方法的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化 1”：根据等式的性质把二次项的系数化为 1；
13
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为
( x m)2
n 的形式；
13
13
④求解：若 n
0 时，方程的解为 x
m n ， 若 n
0 时，方程无实数解。
13
13
（ 3）公式法：一元二次方程
ax 2

bx c

0( a

0) 的根 x
b b 2
2a
4ac
13
13
2
当 b 2 当 b 当 b 2
4ac 4ac
4ac
0 时，方程有两个实数根 ,且这两个实数根不相等；
0 时，方程有两个实数根 ,且这两个实数根相等，写为
0 时，方程无实数根 .

b
x1 x2 ；
2a
13
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定
a, b, c 的值；③代入 b2
4ac 中计算其值，判
13
13
断方程是否有实数根；④若
b 2 4 ac
0 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
13
（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。 ）
（ 4）因式分解法：
①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个为 0，即：
13
若 ab
0 ，则 a
0或b 0 ；
13
②因式分解法的一般步骤：
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。
（ 5）选用适当方法解一元二次方程
①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。
②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。
（ 6）解含有字母系数的方程
（ 1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；
（ 2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。
13
（三）、根的判别式
1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。
30
（ 1） = b2
4 ac
13
13
（ 2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程
ax2
bx c
0 （ a 0 ）
13
a 0
①当 方程有实数根；
0时
13
a 0
（当 方程有两个不相等的实数根；当
0时
a 0
方程有两个相等的实数根； ）
0时
13
a 0
②当 方程无实数根；
0时
从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。
2．常见的问题类型
（ 1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况
（ 2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围
（ 3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况
①先计算出判别式（关键步骤） ；
②用配方法将判别式恒等变形；
③判断判别式的符号；
④总结出结论 .
13
例：求证：方程
(a2
x2
2ax
(a2 4)
0 无实数根。
13
（ 4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方
程进行分类讨论，如果二次系数为 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为 0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。
（ 5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧
（ 6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合
（ 7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题
（四）、一元二次方程的应用
：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。
：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。
13
（下降率） ：在此类问题中，一般有变化前的基数（ a ），增长率（ x ），变化的次数（ n ），
39
变化后的基数（ b ） ,这四者之间的关系可以用公式
a(1
x)n
b 表示。
13
（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去） 。
（五）新题型与代几综合题
（ 1）有 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于 600 平方米，在场地的北面有一堵 50
米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长 40 米、宽 10 米的仓库，但面积只有 400 平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？
（ 2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄） ：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（ 36 岁）
13
(3) 已 知 ：
a,b, c
分 别 是 A B C 的 三 边 长 ， 当 m
0 时 ， 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程
13
13
c( x 2
m) b(x 2
m) 2
max
0 有两个相等的实数根，求证： ABC 是直角三角形。
13
13
（ 4）已知：
a,b,c 分别是 ABC 的三边长，求证：方程
b 2 x 2
(b2
c 2 a 2 )x c2
0 没有实数根。
13
13
（ 5）当 m 是什么整数时， 关于 x 的一元二次方程
mx 2
4 x 4
0 与 x2
4mx
4m2
4m 5
0 的根
13
都是整数？（ m 1 ）
13
（ 6）已知关于 x 的方程 x2 2 x
m2 1
0 ，其中 m 为实数，（ 1）当 m 为何值时，方程没有实
50
x 2 2 x 2 m
数根？（ 2）当 m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。
13
答案：（ 1） m
2 （ 2） x
1, 1 2 .
13
（六）相关练习
（一） 一元二次方程的概念
1．一元二次方程的项与各项系数
把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：
13
（ 1）
5x2
2 3 x
(5x 2 ,
3x, 2)
13
13
（ 2）
2 6x 2
15x 0
(6x2 ,15x, 2 )
13
13
（ 3） 3y( y 1)
7( y
2) 5
(3y 2 ,
4y, 9)
13
13
（ 4） ( m
m)(m
(m
2)2
7 5m
( 2m2 ,0, 3)
13
13
（ 5） (5a
1) 2
4(a
3) 2
(3a2 ,2a, 5)
13
2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值
13
m 为何值时，关于 x 的方程 ( m
xm2
(m 3) x
4m 是一元二次方程。 （ m 2 ）
13
x 2 7x 8
（ 2）若分式 0 ，则 x （ x 8 ）
x 1
3．由方程的根的定义求字母或代数式值
13
(1) 关于 x 的一元二次方程
(a 1) x 2
x a 2
1 0 有一个根为 0，则 a （ a 1）
13
13
2
(2) 已知关于 x 的一元二次方程 ax
bx c
0(a
0) 有一个根为 1，一个根为 1，则 a b c ，
13
a b c （0， 0）
13
（ 3）已知 c 为实数，并且关于 x 的一元二次方程 x2
3 x c
0 的一个根的相反数是方程
x 2 3x c 0
70
13
的一个根，求方程 x 2
3x c
0 的根及 c 的值。 （0， -3， c=0 ）
13
（二）一元二次方程的解法
1．开平方法解下列方程：
13
（ 1） 5x 2
125
0 （ x1
5, x2
5 ） （ 2） 169( x
3) 2
289
（ x1
56 , x 22 ）
2
13 13
13
13
（ 3） y 2
361
0（原方程无实根） （ 4） (1
3) m2
0 （ m1
m2 0 ）
13
13
2(3 x 1) 2
1 2 5
13
（ 5） 8
5
（ x ）
3
13
2．配方法解方程：
13
（ 1） x2
2 x 5 0 （ x
1 6 ） （2） y 2
5y 1 0 （ x
5 21
）
2
13
13
（ 3）
2 y2 4 y 3
10
（ y 1 ）
2
13
3．公式法解下列方程：
84
（ 1） 3x2
6 x 2
3 3 2
（ x ） （2） p
3
3 2 3 p
（ p1 p2 3 ）
13
13
（ 3） 7 y2
11y
（ y1
11 , y
2
7
0 ） （4） 9n 2
5n 2

（原方程无实数根）
13
13
（ 5） x 2
(x 2)( 2x 1)
3 （ x
3 15
）
2
13
4．因式分解法解下列方程：
13
（ 1）
1 x 2 9
4
（ x
6 ） （ 2） y2
4 y 45
0 （ y1
9, y2 5 ）
13
13
（ 3） 8x2
10 x 3
0 （ x1
, x
2
4
3
） （4）
2
7 x 2
21x
0 （ x1
0, x2 3 ）
13
13
（ 5） 6x 2
3 3x
2 2x
6 （ x1
3
, x2
2
2 ） （ 6） ( x
3
5) 2
2(x
5) 1（ x1
x2 6 ）
13
13
（ 7）
( x2
3x) 2
2( x2
3) 8
0 （ x1
2, x2
1, x3
4, x4 1）
13
5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程） ：
98
（ 1）
2( 2x
7) 2
128 （ x 7 2
2 ） （ 2） 2m m2 1
2( m2
2m) 2 （ m 2 6 ）
2
13
13
（ 3） 6x( x 2)

( x 2)( x 3)

（ x1
3
2, x2 ）
5
13
13
2
（ 4） y 3 3
y(3
2 y)
2
y(3 y 1)
3

（ y1
3 , y 2 ）
2
2
13
13
（ 5） 81(2x
5)2

144( x
3) 2

（ x1
27 , x 3 ）
2
10 2
13
6．解含有字母系数的方程（ 解关于 x 的方程）：
13
（ 1） x2
2mx m2 n2 0
( x1
m n, x2
m n )
13
13
2
（ 2） x
3a 2
4ax
2a 1
（ x1
3a 1, x2
a 1）
13
13
（ 3） (m
x2
2nx m
n （ m n
0 ） （ x1
m n
1, x2 ）
m n
13
（ 4）
a2 ( x2
x 1)
a(x 2 1)
( a2
1)x
（讨论 a）
112
（三）一元二次方程的根的判别式
1．不解方程判别方程根的情况：
13
（ 1） 4 x 2
x 3 7x （有两个不等的实数根） （ 2） 3(x 2
2) 4x
（无实数根）
13
13
（ 3）
4x 2
5 4 5x
（有两个相等的实数根）
13
13
2． k 为何值时，关于 x 的二次方程
kx2

6x 9 0
13
13
（ 1）有两个不等的实数根 （ k
（ 2）有两个相等的实数根 （ k
（ 3）无实数根 （ k
1且 k 0 ）
1 ）
1 ）
13
13
3．已知关于ｘ的方程
4x 2
(m 2) x
1 m 有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．
13
13
( m 2, x1 x2
1 或 m
2
3
10, x1 x2 )
2
13
13
4．若方程 x 2
2(a
1) x a 2
4a 5
0 有实数根，求：正整数 a. （ a
1, a
2,a 3 ）
13
5．对任意实数 m，求证：关于 x 的方程
(m2
1)x 2
2mx m2
4 0 无实数根 .
127
13
6． k 为何值时，方程 (k
1) x2
(2k
3) x (k 3)
0 有实数根 .
13
13
（当 k 1
0 时，原方程有一个实数根，
x 4 ；
5
13
k 1 0 k 1 21
13
当 时，解得
0 k
21 ，所以当 k
4
且 k 1 时方程有两个实数根。
4
13
综上所述，当 k
21
时，方程有实数根 .）
4
13
13
7．设 m 为整数， 且 4 m
40 时， 方程 x 2
2( 2m
3) x
4m 2
14m 8
0 有两个相异整数根， 求 m
13
13
的值及方程的根。（当 m =12 时，方程的根为 x1
16, x2
26；当 m =24 时，方程的根为 x1
38, x2
52 ）
13