数学归纳法解题技巧.doc

,抽象与概括,从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=12)1(?nn(an2+bn+c).●案例探究[例1]试证明:不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n>1,n∈N*且a、b、c互不相等时,均有:>:本题主要考查数学归纳法证明不等式,属★★★★:等差数列、:应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立,:本题中使用到结论:(ak-ck)(a-c)>0恒成立(a、b、c为正数),从而ak+1+ck+1>ak·c+ck·:(1)设a、b、c为等比数列,a=qb,c=bq(q>0且q≠1)∴=nnqb+bnqn=bn(nq1+qn)>2bn(2)设a、b、c为等差数列,则2b=a+c猜想2nnca?>(2ca?)n(n≥2且n∈N*)下面用数学归纳法证明:①当n=2时,由2(a2+c2)>(a+c)2,∴222)2(2caca???②设n=k时成立,即,)2(2kkkcaca???则当n=k+1时,41211????kkca(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)>41(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=41(ak+ck)(a+c)>(2ca?)k·(2ca?)=(2ca?)k+1[例2]在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an,Sn,Sn-21成等比数列.(1)求a2,a3,a4,并推出an的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论;(3)求数列{an}:本题考查了数列、数学归纳法、:、猜想、:(2)中,Sk=-321?k应舍去,:求通项可证明{nS1}是以{11S}为首项,21为公差的等差数列,:∵an,Sn,Sn-21成等比数列,∴Sn2=an·(Sn-21)(n≥2)(*)(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=-32由a1=1,a2=-32,S3=31+a3代入(*)式得:a3=-152同理可得:a4=-352,由此可推出:an=??????????)1()12)(32(2)1(1nnnn(2)①当n=1,2,3,4时,由(*)知猜想成立.②假设n=k(k≥2)时,ak=-)12)(32(2??kk成立故Sk2=-)12)(32(2??kk·(Sk-21)∴(2k-3)(2k-1)Sk2+2Sk-1=0∴Sk=321,121????kSkk(舍)由Sk+12=ak+1·(Sk+1-21),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk-21).1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即????????????????????????knkkaakaakaakkkkkkk由①②知,an=??????????)2()12)(32(2)1(1nnnn对一切n∈N成立.(3)由(