正弦定理和余弦定理教案.doc

:===2R,:(1)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;(3)sinA=,sinB=,sinC=等形式,.(4)△ABC的面积公式①S=a·h(h表示a边上的高);②S=absinC=acsinB=bcsinA=;③S=r(a+b+c)(r为内切圆半径);④S=,其中P=(a+b+c).,解三角形时,,b,A,则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sinA>,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2)已知两边及一边的对角,(2)中结果可能有一解、两解、无解,:(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角;(2)已知三边,,主要有两种途径:(1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换题型1 正弦定理解三角形例1 在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A、:由正弦定理,得=,即=,∴sinA=.∵a>b,∴A=60°或A=120°.当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c==;当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c==.在△ABC中,(1)若a=4,B=30°,C=105°,则b=________.(2)若b=3,c=,C=45°,则a=________.(3)若AB=,BC=,C=30°,则∠A=:(1)2 (2)无解(3)45°或135°解析:(1)已知两角和一边只有一解,由∠B=30°,∠C=105°,得∠A=45°.由正弦定理,得b===2.(2)由正弦定理得sinB==>1,∴无解.(3)由正弦定理=,得=,∴sinA=.∵BC>AB,∴A>C,∴∠A=45°或135°.【训练1】(2011·北京)在△ABC中,若b=5,∠B=,tanA=2,则sinA=________;a=△ABC中,tanA=2,所以A是锐角,且=2,sin2A+cos2A=1,联立解得sinA=,再由正弦定理得=,代入数据解得a= 2双基自测1.(人教A版教材习题改编)在△ABC中,A=60°,B=75°,a=10,则c等于( ).+B+C=180°,知C=45°,由正弦定理得:=,即=.∴c=.答案 △ABC中,若=,则B的值为( ).°°°°解析由正弦定理知:=,∴sinB=cosB,∴B=45°.答案 B余弦定理:a2=b2+c2-os_A,b2=a2+c2-os_B,c2=a2+b2-:cosA=,cosB=,cosC=.1.(2011·郑州联考)在△ABC中,a=,b=1,c=2,则A等于( ).°°°°解析由余弦定理得:cosA===,∵0<A<π,∴A=60°.答案 △ABC中,a=3,b=2,cosC=,则△ABC的面积为( ).∵cosC=,0<C<π,∴sinC=,∴S△ABC=absinC=×3×2×= △ABC三边满足a2+b2=c2-ab,∵a2+b2-c2=-ab,∴cosC==-,故C=150° 150°题型2 余弦定理解三角形4 在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且=-.(1)求角B的大小;(2)若b=,a+c=4,求△:(1)由余弦定理知:cosB=,cosC=.将上式代入=-,得·=-,整理得a2+c2-b2=-ac.∴cosB==-=-.∵B为三角形的内角,∴B=π.(2)将b=,a+c=4,B=π代入b2=a2+c2-osB,得b2=(a+c)2-2ac-osB,∴13=16-2ac,∴ac=3.∴S△ABC=acsinB=.5,(2014·南京期末)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知c=2,C=.(1)若△ABC的面积等于,求a、b;(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求