数列极限的几种计算方.doc

数列极限的几种计算方————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 数列极限的几种计算方法数学的应用,在我们的生活中随处可见,而数学分析中的数列极限是高等数学的重要内容,是贯穿于整个微积分教学的主线,它描述了变量在运动过程中的变化趋势,是从有限认识无限,从近似认识精确,,数列极限又是极限的基础,它的计算是微积分教学中的重点和难点,所以本文通过典型实例,,为任一常数,若对任给的,总存在,使得当时,有,则称数列收敛于,,用定义求数列极限局限性很大,它更多地被应用于有关极限值的相关证明,对于如何用数列极限定义证明数列极限问题,常用的基本方法有:适当放大法,(1)因此,(1)式是在的条件下成立的,故应取证明任给取根据分析,,则注2数列极限的四则运算只能推广到有限个数列的情况,,所以有,.于是给分子分母同时除以,,,,可以看出数列极限为,通项,由,所以括号中的式子可用裂项相消法计算, 4利用夹逼准则计算数列极限设均存在,且,若数列满足,则有注4利用夹逼准则求极限的关键是:将原数列适当地放大和缩小,使得放大后和缩小后的两个新数列的极限值相等,,但是,数列可以放大和缩小,所以关键是找到极限值相等的数列与,“单调有界数列必有极限”准则求解数列极限(a)如果数列单调增加且有上界,即存在数M,使得那么存在且不大于M.(b)如果数列单调递减且下界,即存在数m,“单调有界准则”是判别递推数列极限是否存在最常用的一种方法,(1)通过观察可以看出即数列单调增加;(2),由单调有界准则知,数列极限存在,设,,数列极限存在,设所以给等式两边取极限得例题6设,证明数列,收敛,,所以只要明确两者之间的关系,利用夹逼准则,就可证明两个数列极限均存在,,.所以数列单调递减有下界,数列单调增加有上界;:例题7求极限解由上面的性质可知此题的极限属于型所以7利用数列与子列的关系计算数列极限定理若数列收敛于,则它的任何子列也收敛于,即注6此定理经常被用来判断一个数列的发散,即若数列有两个子列极限不相等,,而子列收敛于1,,若对任意给的,存在,使得当时,成立,:,当时,有所以,取,则由数列收敛的柯西准则知,:,证明数列极限存在,,于是即数列满足压缩性条件,,即,则由递推公式得,解之,得到或(舍去),(a)(b)注7使用此种方法,关键是将数列经过变形化成必要的形式,而且此种方法使用的很普遍,,立刻想到用重要极限,但是首先要对原式进行变形,得到我们需要的形式,==,=11应用函数极限与数列极限关系求极限函数极限与数列极限关系是:若,,利用函数极限与数列极