数列极限的几种计算方.doc

数列极限的几种计算方
数列极限的几种计算方法
数学的应用，在我们的生活中随处可见，而数学分析中的数列极限是高等数学的重要内容，是贯穿于整个微积分教学的主线,它描述了变量在运动过程中的变化趋势，是从有限认识无限,从近似认识精确，，数列极限又是极限的基础，它的计算是微积分教学中的重点和难点，所以本文通过典型实例，对数列极限的计算方法做了一些规律性的分析和总结.
二 计算方法
1 定义法
设为数列，为任一常数，若对任给的,总存在,使得当时,有,则称数列收敛于,或称数列以为极限.
注1 一般来说，用定义求数列极限局限性很大，它更多地被应用于有关极限值的相关证明，对于如何用数列极限定义证明数列极限问题，常用的基本方法有:适当放大法，条件放大法.
例题1 用定义法证明数列极限
分析 由于
（1）
因此，对任给的只要便有
（1）式是在的条件下成立的，故应取
证明 任给取
根据分析，当时
有 成立.
于是此题得证.
2 利用数列极限的四则运算法则计算数列极限
设极限与均存在，则
注2 数列极限的四则运算只能推广到有限个数列的情况，而不能推广到无限个数列或不定个数的数列上去.
例题2 求极限
分析 由于，所以有，.于是给分子分母同时除以，再利用数列极限四则运算法计算即可.
解
.
3 利用数列的一些特征计算数列极限
5 利用“单调有界数列必有极限”准则求解数列极限
(a)如果数列单调增加且有上界，即存在数M,使得那么存在且不大于M.
(b)如果数列单调递减且下界，即存在数m,使得那么存在且不小于m.
注5 “单调有界准则”是判别递推数列极限是否存在最常用的一种方法，它不用借助其它数列而是直接利用所给数列自身的单调性和有界性来判别极限的存在性.
例题5 计算数列极限
分析 (1)通过观察可以看出即数列单调增加；
（2），由单调有界准则知，数列极限存在，设，然后计算出常数即为数列极限.
解 由单调有界准则知，数列极限存在，设
所以给等式两边取极限得
例题6 设，证明数列，收敛，且有相同的极限.
分析 因数列与数列之间有大小关系，所以只要明确两者之间的关系，利用夹逼准则，就可证明两个数列极限均存在，进而证明两个极限相等.
解
且有，
.
所以 数列单调递减有下界，数列单调增加有上界；
由单调有界准则知 两个数列的极限均存在.
设
于是有 求出
即两个数列有相等的极限.
6 利用多项式型极限性质求得数列极限
多项式型极限：
例题7 求极限
解 由上面的性质可知
此题的极限属于型
所以
7 利用数列与子列的关系计算数列极限
定理 若数列收敛于，则它的任何子列也收敛于,
即
注6 此定理经常被用来判断一个数列的发散,即若数列有两个子列极限 不相等,则数列必定发散.
例题8 证明数列发散.
证明 取则子列收敛于0，而子列收敛于1，
所以 由上面定理及注意的可知
数列发散.
8 利用柯西收敛原理计算数列极限
定义 数列,若对任意给的,存在,使得当时,成立
,
则称数列是一个基本数列.
柯西收敛原理 数列收敛的充分必要条件是：数列是基本数列.
例题9 证明数列收敛 .
证明 对,当时,有
所以,取，则由数列收敛的柯西准则知，
数列是收敛的.
9 利用压缩性条件计算数列极限
定理 数列满足条件：
则数列收敛.
例题10 已知数列，证明数列极限存在,并求此极限.
解 由假设知且易证,于是
即数列满足压缩性条件，所以数列极限存在.
假设极限为，即，则由递推公式得
，
解之，得到或(舍去)，
所以.
10 利用两个重要极限计算数列极限
(a)
(b)
注7 使用此种方法，关键是将数列经过变形化成必要的形式,而且此种方法使用的很普遍,特别是第二个极限要着重掌握并灵活运用.
例题11 求极限
分析 由于原式中出现，立刻想到用重要极限，但是首先要对原式进行变形，得到我们需要的形式，再进行求解.
解
因为
利用重要极限得
原式==0.
例题8 求极限
分析 利用重要极限，关键是要极限符合型.
解
=
11 应用函数极限与数列极限关系求极限
函数极限与数列极限关系是:
若，则.
例题9 求数列极限
分析