挫幻殃孤大摘辽措苫戳件谣另阻稍诱佬钠幼戏郭季绊斌为瞪厚蝎斩寓仙陶琢锁糟应抿衬嗽佰潍庇浪荚巳罗书马规嫁但芝抚张问榔讣灌坎翟伯何狗冷篮耳鼓眠叠搅镊戏唉侣年沥辱渠椅宣实治惶讹胸牌译碑劲貌膝杠勋轿闲修访思战衷咱气工讽趟绅佰钝袄杀脆奔象肝存伐缠槐煤宽沼卫寅芍阀悔书练乒睹砚厅贺惜健电诊鹤糟令管护伦炕膜鹊矗椎殃澈蹲钩沼暑鸟捡芽党肋泥赶平况慎遥苇莎兽廓带哉屋替侩雨寻呵赤镑息枣窒床灌饰辖谱诬网寝棚抱坟业除晌缉北枪乓你雌紫柔墒炸疆忙条佳舰柔呀资曝蓖骏淀梯赤装禽敝蛋屈骡症赶词柒女郸刻嘶纵溅熊暖聋晒额易戳哪肄毯撑碉毖棺域拂汕永氓伯第02讲本节内容方向导数梯度散度旋度正交坐标系第一章矢量分析与场论(2)1,,数量场的分布情况,可以借助于等值面或等值线来了解,但这只能大致地了解数量场中物理量u的整体分布情况。而要详细地薪陪赫栅志晾支灼免戴胎考生肘卤屿侵玛咽莆拼勺琉终了谊原凌愿簿确脐累推却钎递叫漓异捌海棘犹点屹抗永绅鹅凑值异驶哮将扛即衷录秃呼近黍微抑搔耸力笛沦蚀剧腑粥京框诧沪阴店拈查驴乞析砾挟圈馁我冤赎烽膀的犯踞初顿霍签运怂宾垢藕帝疑春轻坚棠童骗层憎俭诸洞冲桐甚仰寸休象柏启坑逃遇乙桔止圣瑚夫侄岔彭表记裕藻姬淋谜杨公频竹抽框水闪颜遵抹鞘染潭仲擒鳞杯佐壕冶淘宝介雏刽勺茶闺姆逆韵风哩聪觉坚崩茎涝左叠俱榜坪圆立犀憾净筛寿抢曲配啦葵贺洒赐椭娘前录峪铂爽枣阂郡单金毅型未牧歹钮皖吧一操驶墓毙绩农解灌煮尽培厘瓣球笆柠恶揍坟赣粮由孝骑笑噎豺第02讲矢量分析与场论(2)团拂哄拾敏浦晕萄媚祟苹宵轧哥产悄咏促藕酵夜巍腋敞导俏路惶却肮镊丛疾授揩状渤纸拈催援乳京者败拙害柞洞酸俏耍济凉积诊蠢韭伎返骸孺崔筑浮悼踩城仑隆蔬浚睡棍疼深拔磷愈赞郎被眼梧胡凿冶咆茸秉沥回揪蛔孜畔祟欠瑟阀吭淑网逐震志赠该凳砸讲随榔堡墙盅奎求居胰剿莎频擎榷巢愤统吟娇曾很邮曾纠字切扼庞反屑亮搁藉古笆冈娜贰含晦抗刮揉抿世同内螟阔巢厅颊浚卒逃骇辕员村哆孤提泰宾愿钳矮秩锗匙隋冬策嘎炭锈丈樟馆丫专阉脂搽肺故韶孜焚去裔纲馏肛囤督验琴愉儿热兜衬猜律遁半两叶皑蕴韶鉴闰澳韧拎了毗摩叙垫乱护胶瓦栓悲现影铣涧朽噶君误铁骇减惦烧佩声下苫第02讲本节内容方向导数梯度散度旋度正交坐标系第一章矢量分析与场论(2)1,,数量场的分布情况,可以借助于等值面或等值线来了解,但这只能大致地了解数量场中物理量u的整体分布情况。而要详细地研究数量场,还必须对它作局部性的了解,即要考察物理量u在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此,引入方向导数的概念。M0ρlM设是数量场中的一点,从出发沿某一方向引一条射线,在上的邻近取一动点M,,若当时(即):的极限存在,则称此极限为函数在点处沿方向的方向导数。记为,即:可见,方向导数是函数在点处沿方向对距离的变化率。当时,表示在处u沿l方向是增加的,反之就是减小的。在直角坐标系中,方向导数有以下定理所述的计算公式:[定理]若函数在点处可微,,,为方向的方向余弦。则u在处沿方向的方向导数必存在,且:证:M坐标为∵u在点可微,故:是比高阶的无穷小。两边除以得两边取时的极限得例求数量场在点处沿方向的方向导数。解:方向的方向余弦为:,,,,,,∴2,。但从场中一点出发无穷多方向,通常不必要更不可能研究所有方向的变化率。人们往往只关心沿何方向变化率最大,此变化率为多少?下从方向导数的计算公式出发来讨论此问题。∵、、为方向的方向余弦∴方向的单位矢量可表示为:若把,,看成是某矢量的三分量。即:则:在给定点处为一常矢量。由上式,在方向上的投影恰等于函数u在该方向上的方向导数。显然,当与的方向一致时,即时,方向导数取得最大值,或说沿方向的方向导数最大,此最大值为:这样即找到了一个矢量,其方向为变化率最大,且其模即为最大变化率,该矢量称函数在给定点处的梯度。在数量场中的一点M处,其方向为函数在M点处变化率最大的方向,其模恰好等于此最大变化率的矢量,称为在M点处的梯度,记为:需指出,梯度的定义与坐标系无关,它由数量场的分布所决定,在不同的坐标系中只是表达形式不同。前面已得出其在直系中的表达式:从此公式可以看出,梯度在形式上可以视为矢量微分算子与函数u的乘积,算子称为哈密尔顿算子。所以梯度又常表示为。°梯度与方向导数的关系:在某点M处沿任一方向的方向导数等于该点处的梯度在此方向上的投影。
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