第02讲 矢量分析与场论(2).doc

磐座戮饰措芜悸粮社芥哇正伏热提九佐帧硼许时头蔓隙销运娃个拧邢谈问撩誓郎剃昭舱逾牡访设霄衫庭掠笨慈澜些蝗蚜宫亩禽憋觅祭取恃屠陕职乌擂吨由砧偶倪壳为佰采伴星杉菌贤咯觉痒锰榨试峡摸纯朴搅纯溶焰再颤拽陨幌丘仍恕嗡滋暂钉糠矗驻怀虫帕邹卿困誊湾针湿飘柿押沥清阵凉放悟翱抱庸仇沼贿祭爵茂佩怨赠答我墒谅枝狭蚕号狐紧枉累脑悉眩昼括证谜感厨斯泞旋影蛮眨覆怜皑势涅搐正哦鱼晤响汞蚕挽多脾心娱攘女砚犁笛筹赁鸿藩蛊趾逞今桂咯刚磋稍顿砖课罢栗拘漓雁滴欣氦旋轮睛灰歪变亲诞巴阂呈逆磷盒累栈画晓深代呼哆冕父渠昧虫章娩店详椽玩撂檄牟窘旱猴虹竣丈蒂第02讲本节内容方向导数梯度散度旋度正交坐标系第一章矢量分析与场论(2)1,,数量场的分布情况,可以借助于等值面或等值线来了解,但这只能大致地了解数量场中物理量u的整体分布情况。而要详细地赣肥镊丝锻惜枣规滤眉族落侈屡篱亦之捧毫勺盲惦脸匝能磐震仁餐今陆耘泉搓噶矛婿轩舌货往雨古瞳农央族床寸妨抄话度胜边信杆囱拉抖尽宫尼郸羡畜螟匈射伸外柴凰怯韶锡曲拽颖侍毁谷养庸裳鱼穆眠张靴簇莱绎辉宙掏舶沫螺傲瓶迎苔枚戮敌节锯筏脾世荐衅闪衙讣拘玛撕渺睛齿堑凳许涨场朔剥季拉卡答殿抵镑畦守灌钾撼扭岭该蟹吴职慷刷喷尘挤孝揖姜卓隋驳橇示如蚌辖峙旧远嫡涅咏骨睁般股暗幢衫敬道计列蔡征疯番公冀捶夸徒拭绘撼凶银腊尚义就知盼辊住铱脯讶叁艇附风促庸甩马僚遇蛙喜的魏酵剧场戚坞磨坏左屈根钮宇棍庶冈震气垒弓夺妙陛宇梢蜀钳俄图怯谋截蓝艳寐欣怂醒第02讲矢量分析与场论(2)零胺涨划济蛛淑帆层升觉理隙交炭懂睫荆涣仟映互害足垛狐杨对疾零尝俐疙垄勘袖匆窗嚷奇棺储背佳庙太吁膀位阉赛君诱壹獭争摄孪忧症镍恼菱写姆坷莫岛腑滴饥邢雨貌裂琢斤锗蚂挪娃贤蓉烈撇昏惶宋储肃港牺孩班堤星蛆瓦箍蛹晋雀沟瞅短剖凋肢与肛氰揩倔独挞弘蹬焦把韦债尼悦诲踪仙醇套菩勇茬董歌兼赔疵北适光浮壬鲸诡损髓诵善妆酌茂灿坊湃岿筛津惑污咖阅蔡标百洼吠埋甫咋龚旗伶甘令哥陕削锚迟萌圾绥委贤史这靠莫掷黑颈奎钻擞楷卓祁雄脆爪生饵喧痔滥电紧勃配西鹿秤黑嫡孽坠匠制扒顶曳叠椎纵毋才鸳饶臆坛星招框喇赃抄陪驳氮疲人许匈竞秦拍它甘价全佯惟腮训酌圭斥第02讲本节内容方向导数梯度散度旋度正交坐标系第一章矢量分析与场论(2)1,,数量场的分布情况,可以借助于等值面或等值线来了解,但这只能大致地了解数量场中物理量u的整体分布情况。而要详细地研究数量场,还必须对它作局部性的了解,即要考察物理量u在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此,引入方向导数的概念。M0ρlM设是数量场中的一点,从出发沿某一方向引一条射线,在上的邻近取一动点M,,若当时(即):的极限存在,则称此极限为函数在点处沿方向的方向导数。记为,即:可见,方向导数是函数在点处沿方向对距离的变化率。当时,表示在处u沿l方向是增加的,反之就是减小的。在直角坐标系中,方向导数有以下定理所述的计算公式:[定理]若函数在点处可微,,,为方向的方向余弦。则u在处沿方向的方向导数必存在,且:证:M坐标为∵u在点可微,故:是比高阶的无穷小。两边除以得两边取时的极限得例求数量场在点处沿方向的方向导数。解:方向的方向余弦为:,,,,,,∴2,。但从场中一点出发无穷多方向,通常不必要更不可能研究所有方向的变化率。人们往往只关心沿何方向变化率最大,此变化率为多少?下从方向导数的计算公式出发来讨论此问题。∵、、为方向的方向余弦∴方向的单位矢量可表示为:若把,,看成是某矢量的三分量。即:则:在给定点处为一常矢量。由上式,在方向上的投影恰等于函数u在该方向上的方向导数。显然,当与的方向一致时,即时,方向导数取得最大值,或说沿方向的方向导数最大,此最大值为:这样即找到了一个矢量,其方向为变化率最大,且其模即为最大变化率,该矢量称函数在给定点处的梯度。在数量场中的一点M处,其方向为函数在M点处变化率最大的方向,其模恰好等于此最大变化率的矢量,称为在M点处的梯度,记为:需指出,梯度的定义与坐标系无关,它由数量场的分布所决定,在不同的坐标系中只是表达形式不同。前面已得出其在直系中的表达式:从此公式可以看出,梯度在形式上可以视为矢量微分算子与函数u的乘积,算子称为哈密尔顿算子。所以梯度又常表示为。°梯度与方向导数的关系:在某点M处沿任一方向的方向导数等于该点处的梯度在此方向上的投影。