矩阵特征值与特征向量的计算yjs教程文件.ppt

第8章矩阵特征值和特征向量的计算很多工程计算中,会遇到特征值和特征向量的计算,如:机械、结构或电磁振动中的固有值问题;物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大。求解线性方程组的迭代法,重要一点是判断迭代法的收敛性;判断方法之一就是看迭代矩阵的特征值的模是否都小于1。1PA()是的高次的多项式,它的求根是很困难的。设法通过数值方法是求它的根。通常对某个特征值,可以用些针对性的方法来求其近似值。若要求所有的特征值,则可以对A做一系列的相似变换,“收敛”到对角阵或上(下)三角阵,从而求得所有特征值的近似。n阶方阵A的特征值是特征方程PA()=det(A-E)=(A-E)x=(复习)2定理1:ARnn,1,…,n为A的特征值,则(2)A的行列式值等于全体特征值之积,即(1)A的迹数等于特征值之和,即特征根和特征向量的基本结论。定理2设为ARnn的特征值且Ax=x,其中x不为0,则(1)c为cA的特征值(c为常数且不为0);(2)-p为A-pI的特征值,即(A-pI)x=(-p)x;(3)k为Ak的特征值;(4)设A为非奇异阵,那么且为特征值,即3定义设矩阵A,BRnn,若有可逆阵P,使则称A与B相似。定理若矩阵A,BRnn且相似,则 (1)A与B的特征值完全相同; (2)若x是B的特征向量,则Px便为A的特征向量。相似矩阵及定义其性质4xk=Akx0=β11kξ1+β22kξ2+…+βnnkξn设|1>2n,这时,上式可写成若β10,则对充分大的k有因而有从而特征向量ξ1|2/1|,常把每一步计算的迭代向量xk规范化。对非零向量x,用max(x)表示x的按绝对值最大的分量,称向量y=x/max(x),设向量x=(2,1,-5,-1)T,则max(x)=-5,y=(-,-,1,)‖y‖=:任取初始向量x0=y00,计算可得实际计算时,考虑到当1>1时,xk的非零向量趋于无穷;当1<1时,xk趋于零;导致计算机会出现上溢或下溢。|2/1|,当k充分大时可取:1mk,ξ1。(1)输入矩阵A,非零初始向量y0,最大迭代次数N,精度,置k:=0,u=0;(2)计算mk=max(yk);(3)计算(4)若|mk-u|<,则输出mk,xk,停算;(5)若k=N,则停算,输出计算失败信息;否则,置k=k+1,u=mk,转步2;=y0=(1,1,1)T,计算得kmkxk0123……(1,1,1)T(1,,)T(1,,-)T(1,,-)T…………………..(1,,-)T(1,,-)T(1,,-)T可取1,ξ1(1,,-),A的3个特征值分别为1=6,2=3,3=