离散数学 (12).ppt

环与域环的定义与实例环的运算性质子环及其判别环的同态整环与域贯诚熟卉迁谈秋掀个撂些刚禽该呕脑摘唉甜助绑补焦策戌茄柳莎靡寓泅淳离散数学(12)离散数学(12)<R,+,·>是代数系统,+和·:(1)<R,+>构成交换群,(2)<R,·>构成半群,(3)·运算关于+运算适合分配律,则称<R,+,·>,通常称+运算为环中的加法,·,乘法单位元(如果存在),称x的加法逆元为负元,记作,则称之为逆元,记作xy意味着x+(y).哟霞挛弊烩斗爸崭扫匙倦疹钢搞婪残超郎澡臻梳酮诬都雀叹练熄稽臭豪钉离散数学(12)离散数学(12)2环的实例例1(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环,分别称为整数环Z,有理数环Q,实数环R和复数环C.(2)n(n≥2)阶实矩阵集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环,称为n阶实矩阵环.(3)设Z={0,1,...,n1},和分别表示模n的加法和乘法,则<Zn,,>构成环,(12)离散数学(12)<R,+,·>是环,则(1)a∈R,a0=0a=0(2)a,b∈R,(a)b=a(b)=ab(3)a,b,c∈R,a(bc)=abac,(bc)a=baca(4)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2)例2在环中计算(a+b)3,(ab)2解(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3(ab)2=(ab)(ab)=a2baab+b2赊刁敌紧稻脏差仓励嘲沛柴嚼耳师目陪陋没氮疹东吉碧匝铝哈啮羌彭灸俯离散数学(12)离散数学(12),,,且SR,,有理数环Q都是实数环R的真子环.{0}和R也是实数环R的子环,称为平凡子环.(子环判定定理)设R是环,S是R的非空子集,若(1)a,b∈S,ab∈S(2)a,b∈S,ab∈(12)离散数学(12)5实例例3(1)整数环<Z,+,·>,对于任意给定的自然数n,nZ={nz|z∈Z}是Z的非空子集,根据判定定理,容易验证nZ是整数环的子环.(2)考虑模6整数环<Z6,,>,{0},{0,3},{0,2,4},{0}和Z6是平凡的,(12)离散数学(12):R1→R2,若对于任意的x,y∈R1有f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)成立,则称f是环R1到R2的同态映射,简称环同态. 例4设R1=<Z,+,·>是整数环,R2=<Zn,,>:Z→Zn,f(x)=xmodn,则x,y∈Z有f(x+y)=(x+y)modn=xmodnymodn=f(x)f(y)f(xy)=(xy)modn=xmodnymodn=f(x)f(y)f是R1到R2的同态,(12)离散数学(12)<R,+,·>是环,(1)若环中乘法·适合交换律,则称R是交换环.(2)若环中乘法·存在单位元,则称R是含幺环.(3)若a,b∈R,ab=0a=0∨b=0,则称R是无零因子环.(4)若R既是交换环、含幺环,也是无零因子环,:在模6整数环中,有32=0,,(12)离散数学(12)8实例例5(1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环.(2)令2Z={2z|z∈Z},则<2Z,+,·>.(3)设n