流形上矩阵方程ax b的正定及半正定阵的反问题.doc

流形上矩阵方程AX_B的正定及半正定阵的反问题流形上矩阵方程=的正定及AXBα半正定阵的反问题黄炳家,聂立新(())石油大学华东应用数学系,山东东营257061摘要:文1-5中研究了对称、对称半正定及流形上的对称半正定的反问题,,说明了文1-:流形;正定;半正定;反问题()中图分类号::A文章编号:100825513200401200742051引言m×nn×nT令表示所有实×阶矩阵的全体,表示所有阶正交阵的全体,表示的RmnORnAAn×nn×n转置,表示所有实阶对称正定矩阵的全体,表示所有实阶对称半正定矩阵的全SRnSRn+×nT()()=对于A?R,记DAA+A2n×nn×1TT定义1对于?,若对所有的?,有?0,且=0Ζ=0,则为正定ARxRxAxxAxxAn×n阵,+n×nn×1Tn×n定义2对于?,若对所有的?,有?0,则为半正定阵,,,-4研究了对称、:n×mn×mn×n给定?,?,=A?R‖AX-B‖=min问XRBRSFn×kn×kn×n题l|I给定?,?,求??,使=X1RB1RASR0AX1B1n×kn×kn×n问题给定?,?,求??,使=?X1RB1RASR+AX1B1上述问题为线性流形上的正定及半正定阵的反问题,,因此文1的问题l|I为本文问题l||I为文1中问题l|I的特例,则文1-3中的问题l|I皆为本文所研究问题l|I的特例,|I的解首先给出几个引理7n×nn×nTn×nn×nn×n()()引理1设?,为阶可逆矩阵,则?Ζ?+PAPR0+T8AB1n×nr×r引理2设=()A?,?1??,×nr×rr×(n-r)()??Ζ?,且存在?,使=,及00ARA1RXRDA1X2T(n-r)×(n-r)()-?A2XDA1XR0B+C()n×n(n-r)×(n-r)n-r×r()??Ζ?,且存在?,使=,及AR00A2RXRDA2X2Tr×r()-?0A1XDA2XRTAB81n×nr×r()引理3设=?,?1??,则ARA1RrnCA2TB+CB+C(())n×nr×r-1n-r×n-r()??Ζ?,且-?AR++A1RA2DA1R+22TB+CB+C()()n×nn-r×n-r-1r×r()???++Ζ?,且A1-DA2R+ARA2R220n×n?Tn×n)(对?,有如下的奇异值分解=,=,其中?,XRXUVrankXrUOR00m×m)(,且>0=1,2,,Κiri)(?,=,,,VORdiagΚ1Κ2Κr?rTTBB1112将分块为=UBVUBVBB2122n-rrm-r-1BA1112?()Tr×n-r