矩阵方程a txb c的正定和半正定解.doc

矩阵方程A_TXB_C的正定和半正定解ΞT矩阵方程AXB=C的正定和半正定解何楚宁()湖南师范大学数学系摘要T给出了矩阵方程AXB=,正定矩阵,半正定矩阵.()();×nm×n()设R表示所有m×n实矩阵的集合,S是R的一个子集,FX=0为一个实矩阵()方程.“求X?S,使FX=0”()对称正定或半正定矩阵类时,()AXB=C1m×nn×,B?R,C?×nn×nn×nTn×1我们记R为n阶正定阵的集合,即R={A?RYAY>0,ΠY?R,Y?0};|>>n×nn×nn×nTn×1()为n阶半正定阵的集合,即R={A?R};DA=R??YAY?0,ΠY?R|TA+An×n.,A?R2n×nn×n()()()()问题:求X?R,使得1成立;问题:求X?R,?>?()()本文给出了问题I和有解的充要条件及相应解的一般表达式.?7n×nn×nn×nTn×nn×n()()引理1设A?R,P为n阶可逆阵,则A?RRΖPAP?RR.>?>?n×n7n×nn×nr×r()R引理2设A?R,A是A的任意r阶主子阵,则A?R推出A1?R1?>>r×r(R).?T8AB1n×nr×r引理3设A=?R,A?R,1?r?n,则1CA2TB+CB+C()()n×nr×r-1n-r×n-r());>>?RiA?RΖA1?R且A2-DA1>22TB+CB+C(())n×nn-r×n-r-1r×r(且A-))DA??RΖA?R>>12>2228引理4设A同引理3中所示,则TB+C()n×nr×rr×n-r())及A-RΖA1?R且存在X?R使得DA1X=2iA???2()()Tn-r×n-r()XDA1X?R;?()()n×nn-r×n-rB+C)?A?RΖA2?Rii()使得DAX=及A-?且存在X?R21)(n-r×rTr×r()XDAX??9()设方程1中A,B的广义奇异值分解为()A=M2U,B=-sr-sIOBAssSSBAk-rk-rIBOA()2=,2AB=,-k-kmmOOr-ssn-rn+r-s-ksk-r))(((k=rankA,B,r=rankA,s=rankA+rankB-k,S=diagΑ,Α,,Α,S=diagΒ,A12sB1)Β,,Β,Α>0,Β>0,i=1,2,,s,I,I与O,O,O分别为单位阵和零阵,M为可逆2siiABAB阵,U,-212223θT()C=UCV=,-rn+r-k-ssk-r()定理1问题I有解的充要条件是-1-1s×s()()aC,bC,C,C,C为零矩阵及SCS?**********AB>()()()当a,b成立时,方程1的正定矩阵解的一般表达式为X14AX224T-1-1)(X=M()M,-1()XXXZDAZ+K41424323其中AC113-1SCA23A2=TC+YC+YSS-1()+KDA2XX13132k×k22T-1-1T