第七章矩阵函数与矩阵微分方程矩阵函数定义:以实变量的函数为元素的矩阵称为矩阵函数,其中所有的元素都是定义在闭区间上的实函数。矩阵函数与数字矩阵一样也有加法,数乘,乘法,转置等几种运算,并且运算法则完全相同。例:已知计算定义:设为一个阶矩阵函数,如果存在阶矩阵函数使得对于任何都有那么我们称在区间是可逆的。称是的逆矩阵,一般记为例:已知那么在区间上是可逆的,其逆为矩阵函数可逆的充分必要条件定理:n阶矩阵在区间上可逆的充分必要条件是在上处处不为零,并且其中为矩阵的伴随矩阵。定义:区间上的型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为的秩。特别地,设为区间上的阶矩阵函数,如果的秩为,则称一个满秩矩阵。注意:对于n阶矩阵函数而言,满秩与可逆不是等价的。即:可逆的一定是满秩的,但是满秩的却不一定是可逆的。例:已知那么。于是在任何区间上的秩都是2。即是满秩的。但是在上是否可逆,完全依赖于的取值。当区间包含有原点时,在上有零点,从而是不可逆的。矩阵函数对纯量的导数和积分定义:如果的所有各元素在处有极限,即其中为固定常数。则称在处有极限,且记为其中如果的各元素在处连续,即则称在处连续,且记为其中容易验证下面的等式是成立的:设则
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