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工程数学论文.docx《数值计算方法》小论文二分法在无阻尼SDOF系统简谐激励问题中的应用学院专业:上木工程学院 班级:2014级结构工程硕士5班学号:S1401W0030 姓名:刘子健 指导老师:孟纯军 完成时间:2014年12月9口二分法在无阻尼SDOF系统简谐激励问题中的应用刘子健湖南大学土木工程学院湖南长沙410082摘要:本文主要介绍了数值计算方法屮的二分法在土木工程领域中的应用,并以结构动力学中求解无阻尼单自由度系统简谐激励响应中的非线性方程为例,给出了计算过程和相应代码。关键词:二分法;无阻尼SD0F系统;简谐运动;激励响应一、数值计算方法在SD0F系统简谐激励问题中的应用结构动力学是一门研究结构在动力荷载作用下的反应的学科,其中很多问题涉及到用有限自由度代替无限自由度,出现的求解方程大部分是非线性方程,而且问题极其复杂,要想得到解比较难,此外费时费力。如果采用数值计算方法来求解并结合计算机软件MATLAB来编程,即可轻松实现问题解决。单自由度(SD0F)系统简谐激励响应是结构动力学中常见的一类问题,SD0F系统的运动方程都有如下形式mii+cu+ku=p(t) 两边除以m以后为u+2^a)nu+(o^u=3%p(t),其中a)n= ‘ <=当不考虑其阻尼时即是无阻尼SD0F系统简谐响应问题,此时c=$=0。该线性常系数的常微分方程的解即是SDOF系统的总响应,它由两个不同性质的部分线性组合:强迫振动知⑴,直接与p(t)有关;自由振动/(f)。他们都是由三角函数组成的,在求解三角函数构成的非线性方程屮,有时候会用到数值计算方法屮的二分法。二、无阻尼SDOF系统简谐激励响应问题算例无阻尼SDOF系统的简谐激励如图系统在t=0时为静止状态,后来作用一简谐荷载M)=PosinQz。确定其稳态响应的表达式。确定其总响应的表达式。当激励比。/©=1・5吋,其最大总响应与最大稳态响应Z比为多少?注:O为激励频率,©为自振频率,r=Q>„,k为弹簧刚度,m为系统质量,u为相对位移,P。为激励幅值解:根据结构动力学相关知识,解得(a)稳态响应表达式为:un= sinGt卩k-mCl2(b)总响应的表达式为:P() ・厂、 P*a= sinLit sincotk-mCL1 k-mCl2 n对于(c),r=G/®=,由(a)最大稳态响应的表达式可知,最大稳态响应为:二Po=Polk二P°〔k=知稳一k-m©"1-Q27WT~1-^7^ 厂2总响应的表达式为:u= sinClt ——sincotk_inG? k-md2n=———―(sinQ?一rsincot}k-md2V ”)=号⑶“如“sin如)=(sinrcont-rsina)j)则厂=0/©=,求解最大总响应和最大稳态响应Z比转化成了求角军f(0=sinrcont-rsincont最值的问题。三、二分法在问题解决中的应用求解函数的最值问题我们一般采取先对其求导,然后令其导数为零建立方程,求解出使该方程为零的值(即极值)。由于本例中只需求出求两者比值的绝对值最大值,故不考虑它是最大值还是最小值。令x=(Dnt,则f(x)=,周期4兀/,(%)=、/2(x)=[0,4兀]的函数图像大致如图f(x)=(x)=,函