兰彻斯特作战模型+-+.doc

兰彻斯特作战模型-[学习目的];;。问题:两军对垒,现甲军有m个士兵,乙军有n个士兵,试计算战斗过程中双方的死亡情况以及最后哪一方失败?这个问题提得很模糊,因为战争是一个很复杂的问题,涉及因素很多,如兵员的多少,武器的先进与落后,两军所处地理位置的有利与不利,士气的高低,指挥员的指挥艺术,后勤供应状况,气候条件等诸多原因。因此,如果把战争所涉及到的因素都要考虑进去,,在合理的假设下建立一个作战数学模型,读者将会看到得出的结论是具有普遍意义的。在第一次世界大战期间,F?W兰彻斯特(Lanchester)投身于作战模型的研究,他建立了一些可以从中得到交战结果的数学模型,并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定律”:作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比。对于一次局部战斗,有些因素可以不考虑,如气候,后勤供应,士气的高低,而有些因素我们把双方看成是相同的,如武器配备,指挥艺术。还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数。两军士兵都处于对方火力范围内,由于战斗紧迫,短暂,也不考虑支援部队。一、正规战模型:令Xtyt表t时刻甲军人数,表t时刻乙军人数:,,,,在以上假设下,显然甲军人数的减员率与乙军人数成正比,,,,ay,dt(1),dy,,,bxdt,其中a>0,b>0均为常数,积分(1)得2222aybxaybxc,,,,(2)00这就是“兰彻斯特平方定律”,(2)式在X-Y平面上是一族双曲线。,双曲线上的箭头表示战斗力随着时间而变化的方向。,乙军要想获胜,即要使不等式ay,bx成立。可采用两种方式:(1)00增加a,即配备更先进的武器;(2)增加最初投入战斗的人数y。但是,值得注意的是:022在上式中,a增大两倍,结果ayayy也增大两倍,但增大两倍则会使增大四倍。这正000是两军摆开战场作正规战时兰彻斯特平方定律的意义,说明兵员增加战斗力将大大增加。如果考虑两军作战时有增援,令f(t)g(t)和分别表示甲军和乙军t时刻的增援率,所谓增援率,就是增援战士投入战斗或战士撤离战斗的速率。此时正规部队对正规部队的dx,,,ay,f(t),作战模型为dt(3),dy,,,bx,g(t)dt,现在回答一开始时提出的问题,设甲军有m=100人,乙军有n=50人,两军装备性能相同,y(c>0:乙军胜cat)c<0:甲军胜c=0:不分胜负x(t),,1即令,没有援军,将(2)变为bbc22y,,xaa(4)c22yx,,a将y=100,x=50代入(4)式得c22100507500,,,(5)a再将c/a=7500代入()式得22ytxt()(),,7500(6)战斗结束一方人数为零,显然这里乙军x=0,代入(6)式得2y,7500y,87即甲军战死13人,剩下87人,乙军50人全部被消灭。二、混合战模型:如果甲军是游击队,乙军是正规部队,由于游击队对当地地形熟,常常位于不易发现的有利地形。设游击队占据区域R,由于