微积分课程论文——模板.doc

微积分课程论文——微积分课程论文——非线性哲学与线性非哲学PB08207021夏尔玉引言——一阶线性微分方程的一般形式是+p(x)y=Q(x)二阶线性微分方程的一般形式是y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)n阶常系数线性微分方程的一般形式是p1y’+p0y=f(x)《微积分》180页:设y1(x),y2(x)……ym(x)是定义在(a,b)上的函数,若存在不全为0的常数c1,c2,……cm,使得在(a,b)上c1y1(x)+c2y2(x)+……+cmym(x)恒为0,则称它们在(a,b)上线性相关,否则称线性无关。F(x)和g(x)线性相关,则它们的Wronsky行列式恒为零。在学习常微分方程这一章时,以上几个概念已经作为一种基础被我们接受。出现在上述几个概念中有一个共同的名词——“线性”,什么是线性?它究竟是怎样一种性质?带着疑问我开始了自己的探索,却发现了解了一些反而更迷茫。我带着对线性代数的无知走入这个陌生的领域,仅以我的思考为大家呈现“非线性的哲学与线性非哲学”。历史的发展是线性的吗?我想大多数人会告诉我“不是”,在我们的认识中,历史是以螺旋形上升的方式发展的,或者是以无规则杂乱上升的方式发展的。但在《现代汉语规范字典》中给“线性”下了这样一个定义:线性:指各组成部分在时间和空间上都不重复而先后有序地排列的特性。(《现代汉语规范字典》2005年7月第一版)如果按照这样一个定义,那么历史的进程就应该被认为是线性的。因为历史的进程显然符合“在时间和空间上都不重复而先后有序地排列”这一特性,不存在一个例外是说时间能够倒流或是在某一刻静止。那么,难道历史的进程真的是线性的吗?这就牵扯到我们对于“线性”的不同理解上了。首先,让我们从数学的角度上看一看“线性”的定义。线性(linear)是指量与量之间按比例,呈直线的关系,在数学上可理解为一阶导数为常数的函数,在时间和空间上代表规则和光滑的运动。线性能够从相互关联的两个角度来界定,其一:叠加原理成立;其二:物理变量间的函数关系是直线,变量间的变化率是恒量。那么我们就能够从第二方面对历史发展作出界定。从世界人口数量的变化图我们能够清楚地看到,变量间变化率显而易见不为恒量,函数关系也并不是直线。同样我们知道科学的发展也是非线性的,例如在显微镜诞生之前的相当长一段时间里生命科学的发展很缓慢,但以此为分界点,生物学进入了细胞水平的新时代。由此我们认为历史的发展不是线性的。就好比在一个方程组中,只要有一个方程不是线性的,我们就不称之为线性方程组。此时我们得到第一个观点:“线性”在文学角度和自然科学角度的定义有着不同的外延和内涵。以下我们主要讨论自然科学框架下的线性与非线性。非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系,一阶导数不为常数。指输出输入既不是正比例也不是反比例的情形。代表不规则运动和突变。我们可对非线性做以下界定:其—,“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L(aφ+bψ)=aL(φ)+bL(ψ)的算符”,即叠加原理不成立,这意味着φ与ψ间存在着耦合,对(aφ+bψ)的*作,等于分别对φ和ψ*作外,再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的*作,或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。其二,作为等价的另—种表述,我们能够从另一个角度来理解非线性:在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中,一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的,换言之,变量间的变化率不是恒量,函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方,概括地说,就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。能够说,这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现,也是非线性系统复杂性的根源。为了说明其含义,我们给出几个例子:激光的生成是非线性的。当外加电压较小时,激光器犹如普通电灯,光向四面八方散射;而当外加电压达到某一定值时,会突然出现一种全新现象:受激原子仿佛听到“向右看齐”的命令,发射出相位和方向都一致的单色光,就是激光。电容器的电阻很大,在一定范围内其导电能力很微弱,几乎不随外加电压变化而变化,可是当外界电压达到击穿电压后电容器就突变成一种能够导电的状态。化学酸碱滴定过程中PH的变化也是非线性的。加入NaOH(ml),化学上,我们称之为PH突跃。两只眼睛的视敏度是一只眼睛的6-10倍。十枚橘子的价钱是一枚的十倍。但批发价格是不成比例的:一大箱橘子的价钱比一枚的价钱乘以橘子的个数要少。通过以上这些例子我们知道线性关系是