二元函数的极限.doc

二元函数的极限《数学分析》下册第十六章多元函数的极限与连续石家庄经济学院数理学院?2二元函数的极限教学目的掌握二元函数的极限的定义,了解重极限与累次极限的区别与联系(教学要求(1)基本要求:掌握二元函数的极限的定义,了解重极限与累次极限的区别与联系,熟悉判别极限存在性的基本方法((2)较高要求:掌握重极限与累次极限的区别与联系,能用来处理极限存在性问题(教学建议(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别,教会他们求多元函数极限的方法((2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系,通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法(教学程序一、二重极限与累次极限:2定义l设二元函数f为定义在D,R上的二元函数,P为D的一个聚点,A00是一个确定的实数(若对任给正数ε,总存在某正数δ,使得当P??(Po;δ)?D时,都有|f(P)-A|,ε,则称f在D上当P?P时,以A为极限,记作0limf(P),A.(1)p,pp,D在对于P?D不致产生误解时,(P),Ap,p0当P,P分别用坐标(x,y),(x,y)表示时,(1)(x,y),Axy,xy00(,)()lim22例1依定义验证.(x,xy,y),7xy,(,)(2,1)证因为22|x+xy+y-7|1《数学分析》下册第十六章多元函数的极限与连续石家庄经济学院数理学院22=|(x-4)+xy-2+(y-1)|=|(x+2)(x-2)+(x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)|?|x-2||x+y+2|+|y-1||y+3|.先限制在点(2,1)的δ=1的方邻域{(x,y)||x-2|,1,|y-1|,1}内讨论,于是有|y+3|=|y-1+4|?|y-1|+4,5|x+y+2|=|(x-2)+(y-1)+5|?|x-2|+|y-1|+5,7(所以22|x+xy+y-7|?7|x-2|+5|y-1|,7(|x-2|+|y-1|).,设ε为任给的正数,取δ=min(1,),则当|x一2|,δ,|y-1|,δ,14(x,y)?(2,1)时,就有22|x+xy+y-7|,7?2δ=14δ,,x,yxy(x,y),(0,0),22f(x,y)=x,y,0(x,y),(0,0)lim证明f(x,y)=0((x,y),(0,0)证对自变量作极坐标变换x=rcos,y=rsin(这时(x,y)?(0,0)等,,价于对任何,都有r?0(由于,22x,y|f(x,y)-0|=xy22x,y1122r|sin4|,r=,4422,因此,对任何ε,0,只须取δ=2,当0,r=xy,,,时,不管取什值,lim都有|f(x,y)-0|<ε,即f(x,y),0xy,xy00(,)()2《数学分析》下册第十六章多元函数的极限与连续石家庄经济学院数理学院下述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归原PP,则(而且证明方法也相似)(读者可通过它们进一步认识定义1中“”所0包含的意义(lim()fPA,:对于D的任一子集E,只要PP,0PD,P是E的聚点,就有olim()fPA,.PP,0PE,limlimfP()f(P)推论1设ED,,则也不pp,p,p1,0l00p,DpE,1存在(推论2设E,