二元函数的极限.doc

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§2 二元函数的极限
(一) 教学目的：
掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．
(二) 教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．
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§2 二元函数的极限
(一) 教学目的：
掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．
(二) 教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．
基本要求：
(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．
(2) 较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．
(三) 教学建议：
(1) 要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．
(2) 对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．
一 二元函数的极限
先回忆一下一元函数的极限： 的“” 定义(c31)：
设函数在的*一空心邻域内由定义，如果对 ，当 ，即 时，都有 ，则称时，函数的极限是 A.
类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：
设二元函数为定义在上的二元函数，在点为D的一个聚点，A是一个确定的常数，如果对 ，使得当 时，都有 ，则称在D上当 时，以A为极限。记作
也可简写为 或
例1 用定义验证
证明:
限制在 （2，1）的邻域
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取 ，则有
由二元函数极限定义
例2 ，
证明
证
所以
对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点：
是指： 以任何方式趋于，包括沿任何直线，沿任何曲线趋于 时，必须趋于同一确定的常数。
对于一元函数， 仅需沿轴从的左右两个方向趋于，但是对于二元函数，趋于的路线有无穷多条，只要有两条路线，趋于时，函数的值趋于不同的常数，二元函数在点极限就不存在。
例1 二元函数
请看图像（*62），尽管沿任何直线趋于原点时都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当沿抛物线 时， 的值趋于１而不趋于零，所以极限不存在。
f(*)=0
f(*)=1
f(*)=1
( 考虑沿直线的方向极限 ).
例2 设函数
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求证
证明 因为
所以， 当 时， 。
请看它的图像，不管沿任何方向趋于原点，的值都趋于零。
通常为证明极限不存在, 可证明沿*个方向的极限不存在 , 或证明沿*两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关 .
但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 全面极限存在.
设函数
证明函数 在原点处极限不
存在。
证明 尽管 沿 ｘ轴和ｙ轴
趋于原点时 的值都趋于零， 但沿直线 趋于原点时
沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象, 例１沿任何路线趋于原点时，极限都是0，但例２沿不同的路线趋于原点时，函数趋于