二元函数的极限55003
一、二元函数的极限
定义1 设二元函数
定义在
上,
为 D 的
一个聚点, A 是一实数. 若
使得当
时, 都有
在对
不致产生误解时, 也可简单地写作
则称
在 D 上当
时以 A 为极限, 记作
当 P,
分别用坐标
表示时, 上式也
常写作
例1 依定义验证
证 因为
不妨先限制在点(2, 1)的方邻域
内来讨论, 于是有
当
时, 就有
这就证得
所以
例2 设
证明
证 (证法一)
可知
故
注意 不要把上面的估计式错写成：
因为
的过程只要求
即
而并不要求
(证法二) 作极坐标变换
这时
等价于
( 对任何 ). 由于
因此，
对任何
都有
下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归
结原则(而且证明方法也相类似).
的充要条件是：对于 D 的
任一子集 E,只要
仍是 E 的聚点,就有
推论1 若
, P0 是 E1 的聚点, 使
不存在, 则
也不存在．
推论2 若
是它们的聚点，使得
都存在，但
, 则
不存在．
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