圆锥曲线割线或切线平行的充分与必要条件.doc

圆锥曲线割线或切线平行的充分与必要条件——2008年高考陕西卷一道试题的探源吴望茂(江西省吉安市白鹭洲中学江西吉安343000)2008年高考数学陕西卷理科20(文科21)题是一道难度中等的常规题,然而此题第(1)问背景深刻,内涵丰富。本文对该题第(1)问作进一步的探究与推广,以揭示其题源。1试题的表述2008年高考数学陕西卷理科20(文科21)题:已知抛物线C;y=2x2,直线y=kx+2交C于A、B两点,M是线段AB的中点,过M作X轴的垂线交C于点N。(1)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行。(2)是否存在实数k使NA·NB=0,若存在,求k的值;若不存在,说明理由。2试题的反思为明确起见,我们先界定圆锥曲线的割线与切线的概念。设给定圆锥曲线Г:F(x,y)=0及直线L:x=x0+ut,y=y0+vt(u、v不全为0,t∈R),消去x,y并整理可得关于t的实系数方程at2+bt+c=0.(1)若a≠0且b2-4ac>0,则L与Г交于两个相异点,L称为Г的割线;(2)若a≠0且b2-4ac=0,则L与Г交于两个重合点,我们说L与Г在该点相切,L称为Г的切线。反思试题第(1)问及其解题过程,可知其背景深刻而内涵丰富,值得进一步探究,我们可提出下列一般性问题:,L2?,直线Li(i=1,2)交Г于两个相异或重合的点Ai和Bi,:当且仅当Mi(i=1,2)具有什么性质时,L1∥L2成立?、L2,直线Li(i=1,2)交Г于两个相异或重合的点Ai和Bi,记AiBi中的中点为Mi,问:当且仅当Mi(i=1,2)具有什么性质时,L1∥L2成立?3题源的探究通过深入探究,我们可建立如下定理。,设动直线L交Г于两个相异或重合的点A和B,记AB的中点为M,则(1)若L的方向恒定,则M恒在一条平行或重合于Г对称轴的定直线上;(2)若M恒在一条平行或重合于Г对称轴的定直线上,则L的方向恒定。证明:不失一般性,无妨设Г的方程为y2=2px(p>0)①又设L的一个方向向量为a=(u,v)(v≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则L的参数方程为x=x0+uty=y0+vt(t∈R)②将②代入①整理得v2t2+2(v0y-pu)t+20y-2px0=0③A(x1,y1)和B(x2,y2)对应于③的两个实根t1和t2,由M是AB的中点,可知t1+t2=0,即vy0-pu=0④(1)若L的方向恒定,不妨设L的一个方向向量为非零常向量a=(u,v)(u,v是常数,v≠0),则由④可知M(x0,y0)在一条平行或重合于Г的对称轴的定直线y=vpu上。(2)若M(x0,y0)恒在一条平行或重合于Г的对称轴的定直线上,不妨设这条直线方程为y=c(c为常数),则有y0=c,将其代入④可得vc-pu=0,即up-cv=0,也即向量a=(u,v)∥常向量(c,p),因此L的方向恒定。综上所述知,定理1成立。,设动直线L交Г于两个相异或重合的点A和B,记AB的中点为M,则(1)若L的方向恒定,则M恒在一条过Г的中心的定直线上;(2)若M恒在一条过Г中心的定直线上而异于Г的中心,则L