圆锥曲线上四点共圆的充要条件.pdf

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ΑΒ
42 数学通讯 1998 年第 11 期
圆锥曲线上四点共圆的充要条件
专题
写作续铁权
(山东青岛教育学院 266071)
设 c 是非退化圆锥曲线且≠, 故必有 co s = - co s , 即+ = .
2 2
A x + Cy + 2D x + 2Ey + F = 0 ①若直线 A 1A 2 与 A 3A 4 平行, 因 c 的平行
且 A ≠C , 即 c 非圆. 因 xy 项系数为零, c 的弦中点的轨迹是共轭于平行弦方向的直径,
对称轴(主直径) 平行于坐标轴. A i (x i, y i ) (i 当A 1, A 2, A 3, A 4 四点共圆时, A 1A 2, A 3A 4 也
= 1, 2, 3, 4) 是 c 上不同四点. 是圆的平行弦, 这条直径垂直于平行弦, 即这
条直径是主直径但的主直径平行于坐标
引理设 A 1, A 2, A 3, A 4 是 c 上不同四, c
轴, 故直线A 1A 2,A 3A 4 平行于坐标轴, 即=
点, 直线A 1A 2 和A 3A 4 的倾斜角是, , 则这
四点共圆的充要条件是= = 0 或+ = = 0 或= = . 反之, 当= = 0 或=
2
.
= 时, A 1, A 2, A 3, A 4 是一个等腰梯形的顶
证若直线 A 1A 2 和A 3A 4 相交, 设交点 2
点, 从而A 1,A 2,A 3,A 4 四点共圆.
是 P (x 0, y 0) , 则直线A 1A 2 的参数方程是
以下用 k ij 表示直线A iA j 的斜率, i≠j , 1
x = x 0+ tco s ,
≤i, j ≤4.
y = y 0+ tsin .
推论 1 设A 1, A 2, A 3, A 4 是 c 上不同四
代入①, 整理得
2 2 2 点, 则这四点共圆的充要条件是
t (A co s + C sin ) + 2t (A x 0co s +
且或
2 2 (1) x 1= x 2 x 3= x 4,
Cy 0 sin + D co s + E sin ) + (A x 0 + Cy 0 +
(2) k 12+ k 34= 0.
2D x 0+ 2Ey 0+ F ) = 0 ②
定理设 A 1, A 2, A 3, A 4 是 c 上不同四
因直线与相交于②是
A 1A 2 c A 1, A 2, t 点, 则⑤, ⑥, ⑦三式等价, 它们每一个都是这
2 2
的一元二次方程, 即 A co s + C sin ≠0, 且四点共圆的充要条件.
②有两个不同实根由韦达定理
t1, t2. (x 1 - x 2 ) (y 3 - y 4 ) + (x 3 - x 4 ) (y 1 - y 2 )
2 2
A x 0+ Cy 0+ 2D x 0+ 2Ey 0+ F = 0 ⑤
t1 t2= 2 2 ③
A co s + C sin
(x 1