圆锥曲线上四点共圆的充要条件的行列式证明.doc

圆锥曲线上四点共圆的充要条件的行列式证明
().教学随笔.
圆锥曲线上四点共圆的充要条件的行列式证明
545006广西柳州高级中学吴佐慧
430062湖北大学数学系刘合国
本文是[1][1]中,我们利用四阶行列式
的特征证明了下面的定理.
定理设A(acosO’,bsinOi)(=1,2,3,4;0≤<2叮r)
…
22
是椭圆+=1(其中0≠6)上互异四点,则四点共圆
Ul,
的充要条件是l+02+03+=21T,4,tr,6”tr.
自然地,我们依次讨论抛物线,双曲线上四点共圆
,我们仍用[1]的方法来证明如下的定理.
值得指出的是,从我们得到的结果出发,能够推出已有
的相关结果.
定理1如果A(,Y1)(i=1,2,3,4)是抛物线=
2px(p>O)上(按逆时针方向)互异的四点,则这四个点
共圆的充要条件是,,.+++),4=0.
证明必要性如果A.,A:,A,,A4四点共圆,由引
理1可以得到
1l
12
13
14
Yl2
l
),2
Y4:
=0.
又因为2=(=1,2,3,4),所以
1露l
1X2
13
14
1l
12
13
14
Yl+.
Y2x22+2px2
Y3;+23
Y4:+24
2
lYl
戈:Y2
Y3
:Y
=0.
1茹1YI2
l
12
1X3;
1Y42
再由四阶行列式的性质可以得到
,,1
Y2--Yl
Y3--Yl
一
yI
进而
,似
13+l
1”IXl
l
y3+
1
y4+yl
1
y2-yl
y3—y
了一1
=0.
,t
一
.历I而1:
X3--X2Y..’
3
.
+
.
Y.—
t
—’
Y.’.
2
.
+’’Y——
~
11
--
X,2历—Y一2+Yt
=0,
历1
.,,2+
1
,,.
)=(-~4--X:)(丽1丽1:
=2px(:1,2,3,4)化简可得
YI=0.
至此证明了必要性;充分性,反之亦然.
定理2如果A(,Y)(f-1,2,3,4)是抛物线,,2=
(p>0)上(按逆时针方向
线以及圆的对称性可得,必须k从,kAct,都存在,并且都不
(,Y)(=1,2,3,4)四点共圆时,如果相
邻两点,如,与:的横坐标相等,则必有剩下两点的横
≠(fJ=1,2,3,4)的情
.
?教学随笔?中’7擞-?(2Ol1年第1期?高中版)63
从一个案例引发对怒题教学的思考
316211浙江省岱山县东沙中学周斌
前苏联数学教育家奥涅加相说过”必须重视很多习
题潜在着进一步扩展其教学功能,发展功能和教育功能
的可能性……”.习题是教学必不可少的载体,认真钻研
习题,拓展其教学功能,不仅是教师组织教学探究的重
要素材,也是学生高考复习的有效途径之一,更是减轻
学生负担,
的一道高考选择题,它属于中档常规题,但在学生的解
法中,