圆锥曲线中两个充要条件命题及变式 圆锥曲线命题背景.docx

圆锥曲线中两个充要条件命题及变式 圆锥曲线命题背景

　　摘要：圆锥曲线中有很多优美的曲线性质，有些命题及其逆命题全部正确，假如深入研究会发觉很多有趣的结论. 本文摘取几朵“浪花”供大家赏析. 　　关键词：圆锥曲线；命题及其逆命题；变式
　　命题1设双曲线－=1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，右准线为l. 过点F作直线交双曲线右支于P，Q两点，直线PB交l于点M，且=λ.?摇求证：A，M，Q共线的充要条件是c=2a.
　　图1
　　证实设F，P，Q，则=，=.
　　因为=λ?摇。
　　因此c－x1=λ，?摇－y1=λy2.
　　因为y=b2-1，y=b2-1，代入上式。
　　解得
　　x1=c+?摇，x2=c-?摇.
　　又设M，y0，A，B。
　　因为P，B，M三点共线。
　　因此kPB=kBM，即=.
　　从而y0=-a.
　　因此=+a，y0=+a，-a，=x2-，y2-y0.
　　因为x2－=c-?摇－=c-?摇-=•c-?摇=c-。
　　y2－y0=－－-a=－•c++-2a-2λa=•2a-c-。
　　因此=c-，2a-c- . 因此A，M，Q共线?圳存在实数k使得=k?圳c－=+a，2a－c－=－a
　　?圳c=2a.
　　此时k=. 故原命题成立.
　　若将命题中双曲线换成椭圆、抛物线，命题依然成立，即有下述命题：
　　变式1设椭圆+=1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，右准线为l. 过点F作直线交椭圆于P，Q两点，直线PB交l于点M，且=λ. 求证：A，M，Q共线的充要条件是a=2c.
　　变式2设抛物线y2=2px的焦点为F，准线为l. 过点F作直线交抛物线于P，Q两点，直线PO交l于点M. 求证：MQ∥x轴. 反之，若MQ∥x轴，则点P，O，M共线.
　　命题2在抛物线y2=2px上取一定点A，过点A作两条直线AB，AC，分别交抛物线于B，C两点，当直线BC的斜率存在时，求证：AB⊥AC的充要条件是直线BC过定点M.
　　图2
　　证实设B，C，直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y－b=k. 将其和y2=2px联立，消x得
　　?摇ky2－2py－2pka+2pb=0. ①
　　因为A，B为交点。
　　因此b，y1是方程①的解.
　　因此b+y1=. 故y=－b.?摇②
　　因为AB⊥AC。
　　因此AC的斜率为－.
　　同理可得y2=－2pk－b.?摇③
　　因此直线BC的方程为y-y1=•=.
　　化简得y－y1y2=2px.
　　把②③代入得－2pk－2by－b2+4p2－2pbk－=2px.
　　令λ=k－。
　　则上式化为y－b2+4p2－2pbλ=2px，整理得
　　λ+2px+2by－4p2+b2=0.
　　解2py+2bp=0，2px+2b