奥数数论：完全平方数要点及解题技巧.doc

奥数数论:完全平方数要点及解题技巧一、完全平方数的定义: 一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。二、完全平方数特征: :0、1、4、5、6、9;反之不成立。 ;反之不成立。 ;反之不成立。 ;反之成立。 ;反之不成立。 ;偶数平方个位数字是偶数。 。平方差公式:X2-Y2=(X-Y)(X+Y) 完全平方和公式:(X+Y)2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式:(X-Y)2=X2-2XY+Y2 三、完全平方数的性质: 性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。性质2:奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。性质4:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。性质5:奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。性质6:平方数的形式必为下列两种之一:3k,3k+1。性质7:不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k型。性质8:平方数的形式具有下列形式之一:16m,16m+1,16m+4,16m+9。性质9:完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。性质10:为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。性质11:如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数。性质12:在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数,即若n^2<k^2<(n+1)^2,则k一定不是整数。性质13:一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。